Zum Inhalt der Vorlesung
Im ersten Teil der Vorlesung wird die geometrische und algebraische Struktur von elliptischen Kurven behandelt und die Menge der rationalen Punkte auf elliptischen Kurven untersucht. Insbesondere wird mit Hilfe von Sätzen aus der Algebra wie auch aus der projektiven Geometrie gezeigt, dass die Menge der rationalen Punkte auf einer elliptischen Kurven unter einer bestimmten Operation eine endlich erzeugte abelsche Gruppe bildet. Zudem werden elliptische Kurven untersucht, welche mit rationalen, rechtwinkligen Dreiecken mit ganzzahligem Flächeninhalt zusammenhängen.Im zweiten Teil der Vorlesung werden dann Anwendungen elliptischer Kurven in der Kryptographie gezeigt. Solche Anwendungen sind zum Beispiel ein auf elliptischen Kurven basierendes Kryptosystem oder ein Algorithmus zur Faktorisierung grosser Zahlen.
Übungsblätter
- Serie 0 Lösungen 0
- Serie 1 Lösungen 1
- Serie 2 Lösungen 2
- Serie 3 Lösungen 3
- Serie 4 Lösungen 4
- Serie 5 Lösungen 5
- Serie 6 Lösungen 6
- Serie 7 Lösungen 7
- Serie 8 Lösungen 8
- Serie 9 Lösungen 9
- Serie 10 Lösungen 10
- Serie 11 Lösungen 11
Literatur
Teil I: Elliptische Kurven- Joseph Silverman, John Tate:
Rational Points on Elliptic Curves, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag (1992).
Dieses Buch gibt eine gut verständliche Einführung in die Arithmetik der elliptischen Kurven. - Dale Husemöller:
Elliptic Curves,
Graduate Texts in Mathematics 111, Springer-Verlag (2004).
Vor allem die ersten beiden Kapitel sind eine gute Ergänzung zu Silverman/Tate. - Neal Koblitz:
Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms,
Graduate Texts in Mathematics 97, Springer-Verlag (1993).
Behandelt ausführlich elliptische Kurven, welche mit kongruenten Zahlen zusammenhängen.
- Alfred J. Menezes:
Elliptic Curve Public Key Cryptosystems,
Kluwer Academic Publishers (1993).
- Ian Blake, Gadiel Seroussi, Nigel Smart:
Elliptic Curves in Cryptography,
Lecture Notes Series 265, Cambridge University Press (2004).
- Neal Koblitz:
A Course in Number Theory and Cryptography,
Graduate Texts in Mathematics 114, Springer-Verlag (1994).
Ergänzungen
- Rationale Punkte auf Kegelschnitten [J.W.S. Cassels: Lectures on elliptic curves, Cambridge University Press, 1991]
GeoGebra Apps
sage WorkSheets
- Diffie-Hellman und DSA mit elliptischen Kurven
- Elliptische Kurven über endlichen Körpern der Charakteristik 2
- die Algorithmen von Pollard und Lenstra