Axiomatische Mengenlehre Serie 6

Ordnungstypen wohlgeordneter Mengen Abgabe am 14. April

17. Beweise den folgenden Satz über Ordnungstypen wohlgeordneter Mengen.

Satz. Sei A eine Menge, welche durch die binäre Relation “<” wohlgeordnet wird. Dann existiert eine Ordinalzahl α ∈ Ω und eine Bijektion 𝒲 : α → A, so dass für alle β, β′ ∈ α gilt:

β ∈ β′ genau dann wenn 𝒲 (β) < 𝒲 (β′)

Hinweis: Modifiziere den angehängten Beweis von Zermelo. Verwende insbesondere anstelle der Auswahlfunktion die <-kleinsten Elemente von nicht-leeren Teilmengen von A. Weiter betrachte anstelle der γ-Mengen bijektive Funktionen w_{γ} : γ → A′, wobei γ ∈ Ω und A′ eine geeignete Teilmenge von A ist, und für alle β ∈ γ gilt:

w_{γ}(β) ist das <-kleinsten Elemente von A \ {w_{γ}(δ) : δ ∈ β}

Die Vereinigung aller Funktionen w_{γ} ist dann die gesuchte Funktion 𝒲 .