Logik und Mengenlehre

Zum Inhalt der Vorlesung: Eine der wichtigsten Techniken in der modernen Mengenlehre ist das sogenannte Forcing. Diese Technik wurde anfangs der Sechzigerjahre von Paul Cohen entwickelt, um die Unabhängigkeit des Auswahlaxioms und der Kontinuumshypothese von den Axiomen der Zermelo-Fraenkelschen Mengenlehre zu zeigen. Forcing ist eine Technik um Modelle der Mengenlehre (d.h. der Mathematik) so zu erweitern, dass gewisse Sätze, wie z.B. "die Kontinuumshypothese ist falsch", wahr werden. Mit anderen Worten, es wird erzwungen oder forciert, dass gewisse Sätze, die im gödelschen Grundmodell falsch sind, im erweiterten Modell gelten. Ferner wird Forcing dazu benutzt, Modelle der Mengenlehre zu konstruieren, in denen das Auswahlaxiom nicht gilt: Es gibt zum Beispiel ein Modell, in dem sich die reellen Zahlen so partitionieren lassen, dass die Partition echt mehr Teile hat als es reelle Zahlen gibt. In einem anderen Modell gibt es eine unendliche Menge M, so dass die Menge der ungeordneten Paare von M echt grösser ist als die Menge der geordneten Paare von M.
Das Ziel der Vorlesung ist anhand von kombinatorischen Sätzen, einen Einblick in die Theorie der Unabhängigkeitsbeweise zu geben. Dabei werden grundlegende Aspekte der Logik und Modelltheorie gestreift, die technisch anspruchsvollen Beweise der Hauptsätze des Forcings werden jedoch übersprungen. Um die Technik des Forcierens zu illustrieren und verständlich zu machen, werden verschiedene Forcing-Typen eingehender untersucht und ihre Anwendungen erklärt.