| HOME |
| Aktivitäten der Professur |
| Projekte der Professur |
| Verwandte Projekte |
| Didaktischer Ausweis |
| Mitarbeiter der Professur |
| Links |
6. Studienwoche Mathematik |
|
It is our pleasure to invite Gymnasium students (aged 17 to 19 approximately, both female and male) from all parts of Switzerland to participate in the 6. Studienwoche Mathematik which is organized jointly by Schweizer Jugend forscht (SJf) and the ETH and supported by the Société Suisse de Mathématique and by the Deutschschweizerische Mathematikkommission des Vereins Schweizerischer Mathematik- und Physiklehrer/-innen. The Studienwoche will take place from Monday, October 14 — Saturday, October 19, 2002 at Bergschulheim Casoja in CH-7077 Valbella/Lenzerheide The Bergschulheim is a very lovely old Bündner Haus, marvelously situated close to one of the tiny lakes at Lenzerheide. The goal of the Studienwoche is to provide the opportunity to work in small groups on mathematical subjects not usually covered by the Gymnasium mathematics curriculum for about 20 particularly interested gymnasium students. In the course of the week each group will be asked to offer an oral presentation and moreover the groups are expected to prepare short written reports on their work which will eventually be made available to all participants. We plan to have 5 working groups.
These are just a few hints on the topics, we intend to discuss. More comprehensive summaries can be found below. No preliminary preparation is needed for any of these topics. The Seminar languages will be English, German (and French if you are patient with the chairs). In addition to the scientific program you will enjoy meeting fellow students from other parts of Switzerland and be quite likely to make new friends.
For any questions concerning the scientific program please contact: Urs Kirchgraber Phone: 01 632 34 54 (office), 01 481
99 38 (home) For organizational details, please contact the office of: Stiftung "Schweizer Jugend forscht" Claramattweg 8, Postfach Please hand in your application as soon as possible, but not later than June 30, 2002
We hope meeting you in Valbella on Monday October 14, 2002! Moritz Adelmeyer
Scientific Program: 6. Studienwoche Mathematik 2002
Working Group 1: Graphentheorie Leitung: Moritz Adelmeyer, KS Baden und KME Zürich Email: adelmey@dial.eunet.ch Eine typische Problemstellung sieht etwa folgendermassen aus: In der Ebene ist eine Anzahl Punkte gegeben, z.B. 10, 20 oder 100. Zwischen einigen Punkten besteht eine Verbindung zwischen anderen nicht. Die Längen der Verbindungen sind bekannt. Ein Punkt A wird als Startpunkt festgelegt, ein anderer Punkt B als Zielpunkt. Gibt es eine Verbindung zwischen A und B? Wenn, ja wie viele Verbindungen gibt es und welche Verbindung ist die kürzeste? Gibt es vom Startpunkt A aus eine Rundreise durch alle anderen Punkte? Wenn ja, welches ist die kürzeste? Im Rahmen der Graphentheorie werden die Punkte als Knoten bezeichnet und die Verbindungen als Kanten. Knoten und Kanten bilden zusammen den Graphen. Es gibt viele praktische Anwendungen, die auf graphentheoretische Probleme führen, so zum Beispiel die Planung von Verkehrsrouten, der Versand von E-Mails durchs Internet, die Positionierung von Feuerwehrdepots in einer Grossstadt oder der Entwurf von Mikrochips. Die Graphentheorie hat eine kombinatorische und eine algorithmische Seite. Einerseits geht es darum, alle Möglichkeiten zu erfassen und abzuzählen, andererseits soll eine in einem bestimmten Sinne optimale Möglichkeit mit wenig oder zumindest vertretbarem Aufwand ermittelt werden. In aller Regel ist letzteres schwierig, wenn nicht sogar unmöglich! Eine unterhaltsame Einführung in die Graphentheorie liefert das Buch "Das Geheimnis des kürzesten Weges - Ein mathematisches Abenteuer" von Peter Gritzmann und René Brandenberg (Springer-Verlag, 2001, ISBN 3-540-42028-2). In der Studienwoche nehmen wir dieses Buch als Ausgangspunkt, um Probleme und Methoden der Graphentheorie kennenzulernen und vertieft zu studieren. Besondere mathematische Vorkenntnisse sind nicht nötig, von Vorteil sind etwas Programmierkenntnisse. English Abstract: Suppose that in the plane a number of points are given. Between some of them there are connections of known lengths. Fix a starting point A and a final point B. Is there a connection between A and B? If so, what is the total number of possible connections, and which one is shortest? Such and similar problems together with various applications will be discussed in the course of the Studienwoche. Moritz Adelmeyer hat an der ETH Zürich Mathematik studiert. Er ist als Mathematiklehrer an der Kantonsschule Baden und an der Kantonalen Maturitätsschule für Erwachsene in Zürich tätig. Zudem arbeitet er in der Aus- und Weiterbildung von Mathematiklehrkräften und bei der Entwicklung von Unterrichtsmaterialen mit.
Working Group 2: Polytope — eine Entdeckungsreise in dritter und vierter Dimension Leitung: Eva-Maria Feichtner, ETH Zürich Email: eva-maria.feichtner@math.ethz.ch
Polytope im 3-dimensionalen Raum kennen Sie aus mancherlei Abbildungen: reguläre, wie den Würfel, das Tetraeder, das Oktaeder, aber auch viel weniger symmetrische, wie Pyramiden oder Prismen. Wollen wir unsere Vorstellung von diesen Objekten präzisieren, so ergibt sich schnell, dass die Welt der Polytope keineswegs auf das Dreidimensionale beschränkt ist: in allen Dimensionen lassen sich solche konvexen, gleichzeitig aber "kantigen" Objekte definieren. Wir wollen uns auf 3- und 4-dimensionale Polytope beschränken -- diese uns noch einigermassen vertrauten(?!) Dimensionen halten schon genug Überraschungen bereit! Will man Geometrie betreiben, so sollte man trotz aller mathematischer Abstraktion stets die "richtigen" Bilder im Sinn haben. Abbildungen 3-dimensionaler Polytope sind eine Selbstverständlichkeit - aber wie zeichnet man ein 4-dimensionales Polytop? Wir werden uns Methoden hierfür erarbeiten, und uns bei den vertrauten wie den ungewohnten Bildern durch aktuelle Visualisierungssoftware unterstützen lassen. Mit diesem Rüstzeug ausgestattet begeben wir uns dann auf Entdeckungsreise und lassen uns ein auf den Sprung zwischen der 3. und der 4. Dimension: Phänomene, die in Dimension 3 noch leicht verständlich, ja gar selbstverständlich sind, können im Vierdimensionalen bereits fraglich sein oder sogar auf ungelöste Probleme führen. Hier ein Vorgeschmack in aller Kürze: das Tetraeder ist ein 3-dimensionales Polytop, bei dem je zwei Ecken durch eine Kante verbunden sind. Man überzeugt sich recht leicht, dass 3-dimensionale Polytope mit mehr als 4 Ecken kein solch "dichtes" Ecken-Kanten-Gerüst haben können. Im Vierdimensionalen finden wir ganz andere Verhältnisse vor: für jede gegebene Anzahl von Ecken können wir ein Polytop konstruieren, so dass je zwei Ecken durch eine Kante verbunden sind! Willkommen in der 4. Dimension! English Translation: Polytopes — traveling between dimension 3 and 4 You have seen polytopes in 3-dimensional space on many occasions: regular polytopes, such as the cube, the tetrahedron, the octahedron, and polytopes with a less symmetric shape, such as pyramids or prisms. Trying to formalize the description of these objects, we see that the world of polytopes is not at all bound to dimension 3: we can define such convex objects with vertices and edges in any dimension. However, we will concentrate on dimensions 3 and 4 -- there is a wealth of surprises waiting in our hometown (?!) dimensions! Doing geometry one should always keep the "right" pictures in mind. Drawing a 3-dimensional polytope is everyday business, but how does one depict a polytope in dimension 4? We will get a hand on this problem and, both for the familiar and the unfamiliar pictures, we will benefit from up-to-date visualization software. Equipped with these tools we take the step and travel between dimensions 3 and 4: phenomena that are easy to understand in dimension 3 turn out to raise difficult questions in dimension 4, and can even lead to unsolved problems in polytope theory! Here is a first example: in a tetrahedron, any two vertices are connected by an edge. No other polytope in dimension 3 has this property, i.e., the skeleta of vertices and edges are never as dense as in the tetrahedron. In dimension 4, however, we can start with any number of vertices and construct a polytope where any two vertices share an edge! Welcome to the 4th dimension! Eva-Maria Feichtner is professor of Mathematics at ETH Zürich.
20th Century Applications of Mathematics Chair: Urs Kichgraber, ETH Zürich Email: kirchgraber@math.ethz.ch Mathematics shapes our life to an ever-increasing extent. Most of the mathematics involved is not visible but deeply hidden in all kinds of electronic devices for instance. In many cases the underlying mathematics is, at least partly, elementary in the sense that it is accessible to Gymnasium students. Computertomography, invented in the seventies, is by now one of the most important diagnostic tools in medicine. From the mathematical point of view it is an example of a so-called ill-posed inverse problem. In many cases such problems boil down to (big) systems of linear equation. The key is, that the right-hand side of such a system is determined from measurements and therefore subject to inevitable errors, and the coefficients of the systems have the unfortunate property that the solution of the system varies enormously if the right-hand side is changed even very mildly. Interestingly there are methods to solve such problems reasonably. Transmission of data is a problem of increasing importance. If you are working with the World Wide Web you know that the exchange of images is relatively slow. This is due to the fact that the digital representation of images produces an enormous amount of data. There are several ways to speed up the transmission of data. One is technological: To invent nets, which permit higher transmission rates. Another is Data Compressing. Here the starting point is the observation that real images have certain structures. A good deal of a photograph may consist of a plain blue sky. It shouldn’t be necessary to resolve this whole area in tiny bits and to transmit thousands of times the identical code for this blue value. Such techniques have been developed. They are mathematical in nature. One of them is called data compressing with wavelets. In an age in which the transmission of data is so important safety is an outstanding issue. One aspect is to be able to transmit information secretly, i.e. in such a way that it is not accessible to anybody else but the intended receiver. This is an old problem. Already in ancient times such tools were invented. Yet they were fairly easy to break and only recently really safe systems have been designed. The most popular one is based on an extension, due to Leonhard Euler (1707-1783), of a fine result of Pierre de Fermat (1601-1665) on the divisibility properties of certain whole numbers. Its application to cryptography was invented in 1977 by R. Rivest, A. Shamir and L. Adleman and is known as RSA-method. Depending on the interests of the members in this group and on time available we will deal with one or more of these topics during the Studienwoche.
Urs Kirchgraber is professor of Mathematics and Mathematics Education at ETH Zürich. Fermat’s Principle of Least Time Chair: M. Leupp, Kantonsschule Burggraben, St. Gallen Email: marcel.leupp@ksbg.ch Which path, between two given points, is taken by a ray of light? The following laws from optics are well known:
Yet all these different phenomena from optics are a consequence of one single principle. A so-called variational principle, the Principle of Least Time: The path taken by a light ray is the quickest possible, i.e. light rays minimize travel time. Thus Fermat’s Principle of Least Time unifies different phenomena and in a sense deepens their understanding. As a matter of fact many physical principles can be expressed as a statement requiring some important physical quantity to be a maximum, a minimum, or a stationary value. A further example is the Principle of Least Potential Energy. Variational principles are useful, because they are easy to state, because they have a wide range of applications, and because they are helpful in solving problems. But in addition their form can serve as a template, out of which new laws - such as those governing the Theory of General Relativity - can be generated. In the Studienwoche we will derive the above laws of ray optics from Fermat’s Principle of Least Time, which properly speaking should be called the Principle of Stationary Time. We will develop the appropriate mathematical language (the so-called calculus of variations) and apply Fermat’s Principle to a planar atmosphere, which leads to curved light rays and further fascinating problems. Depending on interests and on time available other variational principles may be studied in addition or certain experiments from ray optics could be carried out. Marcel Leupp hat an der ETH Zürich in Mathematischer Physik promoviert. Seit 1996 unterrichtet er an der Kantonsschule am Burggraben in St. Gallen Mathematik und Physik.
Aktienkurse — von der statistischen Analyse zu einem mathematischen Modell Leitung: Elke Warmuth, Humboldt Universität Berlin Email: warmuth@mathematik.hu-berlin.de Schauen Sie auf den Kursverlauf einer beliebigen Aktie und Sie werden der Behauptung zustimmen: Aktienkurse sind nicht sicher prognostizierbar! Die Ökonomen sagen: Aktienkurse vollführen eine zufällige Irrfahrt. Das ist vergleichbar der Bewegung eines sogenannten "Brownschen" Teilchens, das in einer Flüssigkeit ständig mit den sich bewegenden Molekülen zusammen stösst und scheinbar regellose Zickzackbewegungen ausführt. Wir beginnen unsere Arbeit mit der Analyse von verschiedenen Aktienkursdaten. Dabei wenden wir Methoden der beschreibenden Statistik an und nutzen das Programm Excel, um die Arbeit zu rationalisieren und vor allem, um die aufbereiteten Daten zu veranschaulichen. Die statistische Analyse wird uns nämlich zeigen, dass in diesem zufälligen Geschehen dennoch gewisse Gesetzmässigkeiten herrschen. Diesen Gesetzmässigkeiten wollen wir auf die Spur kommen und ein grundlegendes mathematisches Modell für den zufälligen Preisprozess einer Aktie kennen lernen. Es handelt sich um das Black-Scholes-Modell, das der berühmten Black-Scholes-Formel zugrunde liegt. Ihre Entdecker wurden 1997 mit einem Nobelpreis "beinahe" für Mathematik geehrt. Mit Hilfe dieses Modells und eines Computers werden wir selbst Aktienkurse simulieren und so ein besseres Gefühl für die wesentlichen Eigenschaften des Modells und für das Wirken des Zufalls in diesem Geschehen erwerben. Die Modellierungsschritte werden uns zugleich deutlich vor Augen führen, dass das Black-Scholes-Modell eine sehr starke Idealisierung der Wirklichkeit darstellt und dass vor den Finanzmathematiker/-innen ein grosses Forschungsfeld liegt, um dieses Modell zu verbessern.
English Translation: Share prices — from statistical analysis to a mathematical model Consider the price behaviour of any share and you will agree on the statement: share prices can not reliably be predicted!
Economists claim: Share price behaviour resembles random walks. Such behaviour is reminiscent of the so-called "Brownian" motion, where a particle permanently collides with moving molecules in a liquid and apparently carries out haphazard zigzag motions. We will start our work by analyzing share price data. To this end we use methods from descriptive statistics and take advantage of the computer package Excel to perform the computations and above all to visualize the data. Our analysis will reveal that in spite of the presence of randomness some hidden laws may nevertheless be detected. The goal then is to introduce a fundamental mathematical model, which describes the stochastic price process of a share. This model is at the heart of the famous Black-Scholes-formula. Its discoverers were honored with a Nobel price in 1997. With the help of the model and a computer we will simulate share prices. This way we will develop an understanding of the key characteristics of the model and the way chance intervenes. The analysis of the model will reveal that the Black-Scholes-model is but a fairly crude approximation to reality. It is therefore a great challenge to mathematicians working in the realm of mathematics of finance to develop more realistic models. Maybe, this is an option for you? Dr. Elke Warmuth lehrt und forscht an der Humboldt-Universität in Berlin.
|
author Gisela Gassmann and design: Michele Marcionelli