Kapitel I (Vektorrechnung)

§1. Vektoren

Unser Raum ist 3-dimensional. Wir kennen drei Hauptrichtungen: rechts-links, vornehinten, oben-unten. Als Modell wählen wir:

• Ein Punkt O als Ursprung

• Drei zueinander senkrechte Richtungen nach der rechten Hand-Regel: legt man den Zeigefinger in x-Richtung und den Mittelfinger in y-Richtung, so zeigt der Daumen in z-Richtung

• Ein Längenmass in jeder Richtung.

Die Lage eines Punktes P ist dann durch 3 Zahlen x, y und z bestimmt. Diese Zahlen sind reelle Zahlen. Insbesondere können sie positiv, negativ oder null sein. Sie heissen Koordinaten von P.

Sei ℝ die Menge der reellen Zahlen. Als Modell des Raumes haben wir somit

ℝ^{3} = {(x, y, z) | x, y, z ∈ ℝ}

Eine wichtige Grösse ist der Abstand. Der Abstand zwischen O = (0, 0, 0) und P, mit Koordinaten (x, y, z), ist

r = |OP | = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

Der Abstand zwischen A = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) und B = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) ist

|AB| = \sqrt{(b_{1} − a_{1})^{2} + (b_{2} − a_{2})^{2} + (b_{3} − a_{3})^{2}} .

Punkte sind eine erste Art von Objekten im Raum. Eine zweite wichtige Art sind Vektoren, “Pfeile”, oder gerichtete Strecken. Gegeben Punkte A, B in ℝ^{3}, betrachten wir die gerichtete Strecke AB^{⟶} (A = Anfangspunkt, B = Endpunkt). Sie hat eine

Länge oder Betrag |AB|^{⟶} und eine Richtung.

Wichtige Beispiele von Objekten welche einen Betrag und eine Richtung haben, kommen aus der Physik:

• Kräfte K⃗:

· der Betrag gibt die Stärke der Kraft

· die Richtung gibt die Richtung in welcher die Kraft ausgeübt wird.

• Geschwindigkeiten v⃗: · der Betrag ist die Geschwindigkeit z.B. in ms^{−1}. · die Richtung ist die momentane Richtung der Bewegung.

Es ist zweckmässig zwei gerichtete Strecken \overrightarrow{AB} und \overrightarrow{CD} als gleich (oder äquivalent) zu betrachten, falls sie gleich lang und gleichsinnig parallel sind.

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} ⟺^{Def} \{ \begin{matrix}|AB| = |CD| \\ gleichsinnig parallel. \end{matrix}

Sei A = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) und B = (b_{1}, b_{2}, b_{3}). Die Koordinatendifferenzen

b_{1} − a_{1}, b_{2} − a_{2}, b_{3} − a_{3}

nennen wir die Komponenten von \overrightarrow{AB}. Weil die Komponenten Koordinatendifferenzen sind, gilt

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} ⟺ \overrightarrow{AB} und \overrightarrow{CD} haben die gleichen Komponenten. Wir schreiben

\overrightarrow{AB} = ( \begin{matrix}b_{1} − a_{1} \\ b_{2} − a_{2} \\ b_{3} − a_{3} \end{matrix} )

Wir haben |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(b_{1} − a_{1})^{2} + (b_{2} − a_{2})^{2} + (b_{3} − a_{3})^{2}} . Sowohl Punkte wie Vektoren werden also durch Tripel von Zahlen charakterisiert.Es gilt folgende Zuordnung

Punkt P = (x, y, z) ↦ Ortsvektor \overrightarrow{OP} = r⃗_{P} = ( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} )
Punkt C ←∣ Vektor \overrightarrow{AB} = a⃗

bestimmt durch

\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AB}.

Also hat ein Tripel von Zahlen verschiedene Interpretationen:

• Punkt P

• Ortsvektor r⃗_{P} = \overrightarrow{OP}

• Vektor a⃗ äquivalent zu r⃗_{P}. Je nach Situation wird eine dieser Interpretationen benützt. Operationen mit Vektoren:

• Addition

Sei a⃗ = \overrightarrow{AB}, b⃗ = \overrightarrow{CD}. Wir definieren

a⃗ + b⃗ = \overrightarrow{AS}

wobei S bestimmt wird durch \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BS}, d.h. S ist der Endpunkt von b⃗, wenn b⃗ in B angeheftet wird. In Komponenten haben wir

a⃗ = ( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix} , ) b⃗ = ( \begin{matrix}b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix} ) ⟹ a⃗ + b⃗ = ( \begin{matrix}a_{1} + b_{1} \\ a_{2} + b_{2} \\ a_{3} + b_{3} \end{matrix} )

Regeln für die Addition

(1) a⃗ + b⃗ = b⃗ + a⃗ Kommutativität

(2) (a⃗ + b⃗) + c⃗ = a⃗ + (b⃗ + c⃗) Assoziativität

(3) es gibt einen “Nullvektor” 0 mit a⃗ + 0 = a⃗

(4) zu jedem a⃗ gibt es den entgegengesetzten Vektor −a⃗, d.h. a⃗ + (−a⃗) = 0. Aus (2) folgt, dass bei einer beliebigen Summe \overrightarrow{a_{1}} + \overrightarrow{a_{2}} + ⋯ + \overrightarrow{a_{n}} keine Klammern nötig sind. Subtraktion: a⃗ − b⃗ := a⃗ + (−b⃗) wichtige Anwendung: \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} − \overrightarrow{OA} = r⃗_{B} − r⃗_{A}. Multiplikation mit einer Zahl Sei a⃗ ein Vektor und λ eine reelle Zahl. Der Vektor λa⃗ hat nach Definition die Länge

|λa⃗| = |λ||a⃗|

und ist gleichgesinnt wie a⃗ falls λ > 0, resp. entgegengesinnt falls λ < 0.

Anwendung: Haben zwei Vektoren a⃗, b⃗ (≠ 0) dieselbe Richtung, so gibt es λ ≠ 0 so dass a⃗ = λb⃗.

Aus der Definition folgt, dass λa⃗ = ( \begin{matrix}λa_{1} \\ λa_{2} \\ λa_{3} \end{matrix} ) falls a⃗ = ( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix} )

Regeln:

0 · a⃗ = 0, 1 · a⃗ = a⃗, (−1) · a⃗ = −a⃗
λ (a⃗ + b⃗) = λa⃗ + λb⃗, (λ + μ)a⃗ = λa⃗ + μa⃗

Ein Vektor e⃗ mit |e⃗| = 1 heisst Einheitsvektor. Die Menge der Punkte P mit |OP | = 1 ist die Einheitssphäre S^{2} (S^{1} ist der Kreis mit Radius 1).

Ist a⃗ ≠ 0, so hat e⃗ = \frac{a⃗}{|a⃗|} die Länge 1 und heisst die Normierung von a⃗. Spezielle Einheitsvektoren sind

e⃗_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) in x − Richtung

e⃗_{2} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) in y − Richtung

e⃗_{3} = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) in z − Richtung

Jedes a⃗ = ( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix} ) lässt sich zerlegen als

a⃗ = a_{1}e⃗_{1} + a_{2}e⃗_{2} + a_{3}e⃗_{3}

Der Vektor a_{1}e⃗_{1} ist die Komponente von a⃗ in x-Richtung.

Anwendungen

(1) Der Schwerpunkt

Gegeben seien N Punktmassen m_{1}, …, m_{N} in den Punkten A_{1}, …, A_{N}. Gesucht ist der Schwerpunkt dieses Systems. Der Schwerpunkt S ist definiert durch die Momentenbedingung

m_{1}\overrightarrow{SA}_{1} + m_{2}\overrightarrow{SA}_{2} + ⋯ + m_{N} \overrightarrow{SA}_{N} = 0

[ Abkürzung ∑_{i=1}^{N} m_{i}\overrightarrow{SA}_{i} = 0 ]

Wegen \overrightarrow{SA}_{i} = a⃗_{i} − s⃗ mit a⃗_{i} = \overrightarrow{OA}_{i} und s⃗ = \overrightarrow{OS} folgt

0 = ∑_{i=1}^{N} m_{i}(a⃗_{i} − s⃗) = ∑_{i=1}^{N} m_{i}a⃗_{i} − (∑_{i=1}^{N} m_{i}) s⃗

somit

s⃗ = ∑_{i=1}^{N} m_{i}a⃗_{i} / ∑_{i=1}^{N} m_{i}

In Komponenten, mit S = (x_{S}, y_{S}, z_{S}), A_{i} = (x_{i}, y_{i}, z_{i}),,

x_{S} = \frac{∑ m_{i}x_{i}}{∑ m_{i}} , y_{S} = \frac{∑ m_{i}y_{i}}{∑ m_{i}} , z_{S} = \frac{∑ m_{i}z_{i}}{∑ m_{i}}

Sind alle Massen gleich, so folgt s⃗ = \frac{1}{N} ∑ a⃗_{i}.

(2) Parameterdarstellung einer Gerade Eine Gerade g wird durch 2 Punkte A, B, A ≠ B, bestimmt. Sei P ein Punkt im Raum. Wir haben

P ∈ g ⟺ es gibt t ∈ ℝ mit \overrightarrow{AP} = t\overrightarrow{AB}

Der laufende Punkt von g hat somit den Ortsvektor

r⃗_{P} = \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{AB}
= r⃗_{A} + t(r⃗_{B} − r⃗_{A}).
△ !

Dieselbe Gerade kann verschiedene Parameterdarstellungen haben. Beispiel: Sei g die Gerade durch A = (1, 2, 1) und B = (2, −1, −2). Gesucht ist der Schnittpunkt von g mit der (x, y)-Ebene. Die Parameterdarstellung ist

x = 1 + t, y = 2 − 3t, z = 1 − 3t

Der Schnittpunkt Q ist gegeben durch die Bedingung z = 0, so dass t = 1/3 und Q = (4/3, 1, 0).

(3) Parameterdarstellung einer Ebene

Die Ebene E sei durch 3 nicht-kollineare Punkte A, B, C gegeben. Die Ebene E wird erzeugt von den Vektoren \overrightarrow{AB} und \overrightarrow{AC}, also

P ∈ E ⟺ ∃ u, v ∈ ℝ mit \overrightarrow{AP} = u\overrightarrow{AB} + v\overrightarrow{AC}

Der laufende Punkt von E hat somit den Ortsvektor.

r⃗_{p} = r⃗_{A} + u (r⃗_{B} − r⃗_{A}) + v (r⃗_{C} − r⃗_{A}) , u, v ∈ ℝ

Wir haben 2 Parameter: E ist ein “zweidimensionales” Gebilde. Entsprechend ist eine Gerade “eindimensional”.

§2. Das Skalarprodukt

Wir geben eine geometrische Definition (d.h. ohne Koordinaten) und eine analytische Definition (mit Koordinaten). Sind 2 Vektoren a⃗, b⃗ beide ≠ 0, so ist der nichtorientierte Winkel φ =≮ (a⃗, b⃗) wohldefiniert. Das Skalarprodukt von a⃗ und b⃗ ist die Zahl

a⃗ · b⃗ = |a⃗| · |b⃗| · cos φ (geometrische Definition)

Wir haben

a⃗ · b⃗ = 0 ⇔ φ = \frac{π}{2} (a⃗ ⊥ b⃗), oder a⃗ = 0, oder b⃗ = 0
a⃗ · b⃗ > 0 ⇔ φ ist spitz
a⃗ · b⃗ < 0 ⇔ φ ist stumpf .

Regeln:

a⃗ · b⃗ = b⃗ · a⃗
(λa⃗) · b⃗ = λ(a⃗ · b⃗)
a⃗ · (x⃗ + y⃗) = a⃗ · x⃗ + a⃗ · y⃗

Beweis: Die erste Regel ist klar. Bei der zweiten muss man die Fälle λ > 0 und λ < 0 unterscheiden (benütze, dass cos(π − φ) = − cos φ). Die dritte Regel ist weniger evident und wir geben einen Beweis. Wegen der 2. Regel können wir annehmen, dass a⃗ = e⃗ ein Einheitsvektor ist. Jeder Vektor x⃗ besitzt eine wohlbestimmte Orthogonalprojektion in die Richtung von e⃗. Bezeichnen wir diesen Vektor mit x⃗e⃗, so gilt (Figur!)

x⃗e⃗ = (|x⃗| · cos φ) e⃗ , φ =≮ (x⃗, e⃗).

Da |e⃗| = 1, folgt x⃗e⃗ = (x⃗ · e⃗)e⃗.

Es ist klar (Figur!), dass (x⃗ + y⃗)e⃗ = x⃗e⃗ + y⃗e⃗, d.h. die Projektion der Summe ist die Summe der Projektionen. Somit gilt

(e⃗ · (x⃗ + y⃗))e⃗ = (e⃗ · x⃗)e⃗ + (e⃗ · y⃗)e⃗ = [(e⃗ · x⃗) + (e⃗ · y⃗)]e⃗

und die Behauptung e⃗ · (x⃗ + y⃗) = e⃗ · x⃗ + e⃗ · y⃗ folgt durch Koeffizientenvergleich. □

Für die Einheitsvektoren e⃗_{1}, e⃗_{2}, e⃗_{3} gilt

e⃗_{1} · e⃗_{1} = e⃗_{2} · e⃗_{2} = e⃗_{3} · e⃗_{3} = 1 e⃗_{1} · e⃗_{2} = e⃗_{2} · e⃗_{3} = e⃗_{3} · e⃗_{1} = 0

Setzen wir δ_{ij} := \{ \begin{matrix}0, i ≠ j \\ & “Kronecker-Delta” \\ 1, i = j \end{matrix}

so gilt

e⃗_{i} · e⃗_{j} = δ_{ij} i, j = 1, 2, 3.

Für beliebige Vektoren a⃗ = ( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix} ), b⃗ = ( \begin{matrix}b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix} ), folgt mit Hilfe der obigen

Regeln, a⃗ = ∑_{i=1}^{3} a_{i}e⃗_{i}, b⃗ = ∑_{j=1}^{3} b_{j}e⃗_{j} und

a⃗ · b⃗ = (∑_{i=1}^{3} a_{i}e⃗_{i}) · (∑_{j=1}^{3} b_{j}e⃗_{j}) = ∑_{i,j=1}^{3} a_{i}b_{j}e⃗_{i} · e⃗_{j} = ∑_{i,j=1}^{3} a_{i}b_{j}δ_{ij}

= ∑_{i=1}^{3} a_{i}b_{i} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}.

a⃗ · b⃗ = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} · a_{3}b_{3} (analytische Definition)

Kleine Anwendung: gegeben a⃗, b⃗; gesucht φ = ∢(a⃗, b⃗):

cos φ = \frac{a⃗ · b⃗}{|a⃗||b⃗|} = \frac{a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}\sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2}}} .

Speziell: a⃗ = ( \begin{matrix}−2 \\ −1 \\ 2 \end{matrix} ) , b⃗ = ( \begin{matrix}2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} ), cos φ = \frac{−4 − 2}{\sqrt{9} · \sqrt{8}} = −\frac{1}{\sqrt{2}}, φ = \frac{3π}{4} .

Wichtige Anwendung

Eine Ebene E kann durch eine normale Richtung und einen Punkt A gegeben werden (Figur!). Sei die normale Richtung durch einen Vektor n⃗ (≠ 0) bestimmt. Es gilt:

P ∈ E ⟺ \overrightarrow{AP} ⊥ n⃗
⟺ n⃗ · (\overrightarrow{OP} − \overrightarrow{OA}) = 0
⟺ n⃗ · \overrightarrow{OP} = n · \overrightarrow{OA}

In Koordinaten:

n_{1}x + n_{2}y + n_{3}z = n_{1}a_{1} + n_{2}a_{2} + n_{3}a_{3}

Also bestimmt eine Ebene eine lineare Gleichung in x, y, z. Umgekehrt, jede solche Gleichung bestimmt eine Ebene: Sei n_{1}x+n_{2}y+n_{3}z = d die Gleichung. Sei (a_{1}, a_{2}, a_{3}) irgendeine Lösung, d.h. n_{1}a_{1} + n_{2}a_{2} + n_{3}a_{3} = d dann ist die Ebene bestimmt durch A = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) und n⃗ = (n_{1}, n_{2}, n_{3}).

Abstand Punkt-Ebene

Sei die Ebene E durch den Punkt A und die Normale n⃗ mit |n⃗| = 1 gegeben und sei P ein Punkt im Raum. Sei D der Schnittpunkt mit E der Gerade durch P in Richtung n⃗. Die Länge |\overrightarrow{P D}| ist der Abstand zwischen P und E. Wir haben (Figur!)

\overrightarrow{P D} = (\overrightarrow{P A})n⃗ = (\overrightarrow{P A} · n⃗)n⃗

und somit

d = |\overrightarrow{P D}| = |\overrightarrow{P A} · n⃗|.

Ist n⃗ nicht normiert, so gilt d = \frac{|\overrightarrow{P A} · n⃗|}{|n⃗|} .

Übung: Interpretiere das Vorzeichen von \overrightarrow{P A} · n⃗.

Wir haben eine Ebene auf 2 Arten dargestellt:

1. durch eine Parameterdarstellung 2. durch eine lineare Gleichung. Aus den 3 Gleichungen einer Parameterdarstel-

lung

x = a_{1} + u · b_{1} + v · c_{1}
y = a_{2} + u · b_{2} + v · c_{2}
z = a_{3} + u · b_{3} + v · c_{3}

können wir u und v eliminieren. Es bleibt eine Gleichung in x, y und z. Umgekehrt, gegeben eine lineare Gleichung für die Ebene E, kann man 3 Punkte (nicht kollinear) auf E finden und eine entsprechende Parameterdarstellung aufstellen.

Physikalische Anwendung des Skalarproduktes. Die Arbeit einer konstanten Kraft K längs einem Weg parallel zur Kraft ist bekanntlich:

Arbeit = Kraft · Weg oder W = K · d

Ist die Richtung der Kraft nicht in Richtung des Weges und ist der Weg geradlinig von A nach B so gilt W = K^{1} · |AB|, wobei K^{1} die Komponente von K⃗ in Richtung des Weges ist. Also

W = |K⃗e⃗| · |\overrightarrow{AB}|

wobei e⃗ = \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}. Da |K⃗e⃗| = |\overrightarrow{K} · e⃗| folgt W = |K⃗ · \overrightarrow{AB}|. Will man das Vorzeichen

berücksichtigen (positive, resp. negative Arbeit) so setzt man

W = K⃗ · \overrightarrow{AB}

Beispiel: Segelboot im Wind! (Figur!)

§3. Das Vektorprodukt

Das Vektorprodukt a⃗ × b⃗ ist ein Vektor. Es wird wie folgt definiert:

• Sind a⃗ und b⃗ parallel, oder a⃗ = 0, resp. b⃗ = 0, so ist a⃗ × b⃗ = 0.

• Sind a⃗ und b⃗ nicht parallel, so

- |a⃗ × b⃗| = |a⃗||b⃗| · sin φ, φ =≮ (a⃗, b⃗)

- a⃗ × b⃗ steht senkrecht auf a⃗ und auf b⃗ - a⃗, b⃗, a⃗ × b⃗ bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem (rechte Hand-

Regel!)

Folgerungen:

• a⃗ × b⃗ = 0 ⟺ a⃗ und b⃗ sind linear abhängig (d.h. es gibt, λ, μ ∈ ℝ nicht beide = 0 mit λa⃗ + μb⃗ = 0.

• |a⃗×b⃗| ist der Flächeninhalt F des von a⃗ und b⃗ aufgespannten Parallelogramms.

F = Basis · Höhe = |a⃗| · (|b⃗| · sin φ)

• a⃗ × b⃗ = −b⃗ × a⃗ , a⃗ × a⃗ = 0

• e⃗_{1} × e⃗_{2} = e⃗_{3} e⃗_{i} × e⃗_{i+1} = e⃗_{i+2} (Index modulo 3)

• λa⃗ × b⃗ = λ(a⃗ × b⃗)

Der Beweis dieser Regeln folgt ziemlich unmittelbar aus der Definition. Die nächste Regel

• a⃗ × (x⃗ + y⃗) = a⃗ × x⃗ + a⃗ × y⃗

ist weniger evident. Zum Beweis dürfen wir annehmen, dass a⃗ ≠ 0 und, durch Normierung, dass a⃗ = e⃗ ein Einheitsvektor ist. Sei E die Ebene senkrecht zu e⃗ durch O und sei D die Drehung um die Achse e⃗ um \frac{π}{2}. Sei weiter P die Orthogonalprojektion auf E (Figur!).

Es gilt

D(x⃗ + y⃗) = D(x⃗) + D(y⃗)
P (x⃗ + y⃗) = P (x⃗) + P (y⃗)
|P (x⃗)| = |x⃗| · sin φ,  φ =≮ (x⃗, e⃗)
= |x⃗||e⃗| · sin φ = |e⃗ × x⃗|

Behauptung: D(P (x⃗)) = e⃗ × x⃗.

Beweis: |D(P (x⃗))| = |P (x⃗)| = |e⃗ × x⃗|. Also sind die Längen gleich.

Die Richtung stimmt auch (rechte Hand-Regel!). □

Es folgt nun

e⃗ × (x⃗ + y⃗) = D(P (x⃗ + y⃗)) = D(P (x⃗) + P (y⃗))
= D(P (x⃗)) + D(P (y⃗)) = e⃗ × x⃗ + e⃗ × y⃗ .

Somit ist die letzte Regel auch bewiesen.

Wir können jetzt das Vektorprodukt mit Koordinaten berechnen: Sei

a⃗ = ∑_{i=1}^{3} a_{i}e⃗_{i} b⃗ = ∑_{j=1}^{3} b_{j}e⃗_{j}. Es folgt

a⃗ × b⃗ = (∑_{i=1}^{3} a_{i}e⃗_{i}) × (∑_{j=1}^{3} b_{j}e⃗_{j}) = ∑_{i,j=1}^{3} a_{i}b_{j}(e⃗_{i} × e⃗_{j})
= (a_{2}b_{3} − a_{3}b_{2})e⃗_{1} + (a_{3}b_{1} − a_{1}b_{3})e⃗_{2} + (a_{1}b_{2} − a_{2}b_{1})e⃗_{3}

a⃗ × b⃗ = (a_{2}b_{3} − a_{3}b_{2}, a_{3}b_{1} − a_{1}b_{3}, a_{1}b_{2} − a_{2}b_{1})

Die Koeffizienten sind 2-reihige Determinanten. Man schreibt sie auch als

a_{2}b_{3} − a_{3}b_{2} =: | \begin{matrix}a_{2} b_{2} \\ a_{3} b_{3} \end{matrix} | , …

Anwendungen:

• Fläche eines Dreiecks im Raum. Sei das Dreieck durch die Ecken A, B und C gegeben. Es gilt

F = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} × \overrightarrow{AC}|

• Schnitt von 2 Ebenen. Der Schnitt ist eine Gerade. Wir suchen eine Parameterdarstellung dieser Gerade.

E_{1} : n_{1}x + n_{2}y + n_{3}z = d_{1}

E_{2} : m_{1}x + m_{2}y + m_{3}z = d_{2}

E_{1} ist senkrecht zu n⃗ = ( \begin{matrix}n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{matrix} ). E_{2} ist senkrecht zu m⃗ = ( \begin{matrix}m_{1} \\ m_{2} \\ m_{3} \end{matrix} ), somit

ist die Schnittgerade parallel zu n⃗ × m⃗.  (Figur!)  Wir brauchen noch

einen Punkt A um die Gerade festzulegen. Die Koordinaten a_{1}, a_{2}, a_{3} von A sind Lösung der zwei Gleichungen für E_{1} und E_{2}.

• Abstand Punkt - Gerade. Eine Gerade g sei durch zwei Punkte A, B gegeben. Gesucht ist der Abstand eines Punktes P zur Gerade g. Man betrachte das von den Vektoren \overrightarrow{AB} und \overrightarrow{AP} aufgespannte Parallelogramm. Seine Höhe bezüglich der Basis |\overrightarrow{AB}| ist die Distanz d von P zu g. Also bekommen wir für die Fläche F:

F = |\overrightarrow{AB}| · d = |\overrightarrow{AP} × \overrightarrow{AB}|

so dass d = \frac{|\overrightarrow{AP} × \overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AB}|} = |\overrightarrow{AP} × e⃗| falls e⃗ = \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}.

• Vektordarstellung einer Drehung. Ein Körper dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit w > 0 um die Achse g durch O. Sei e⃗ der durch die Korkzieherregel bestimmte Einheitsvektor auf g (Figur !). Der Vektor w⃗ = we⃗ heisst Winkelgeschwindigkeitsvektor. Sei v⃗ der Geschwindigkeitsvektor eines Masseteilchen an der Stelle P und sei v = |v⃗|. Es gilt

|v⃗| = w · d , d Abstand zwischen g und P

somit |v⃗| = w|e⃗ × r⃗_{P} | = |w⃗ × r⃗_{P} |. Weiter gilt v⃗ ⊥ e⃗, v⃗ ⊥ r⃗_{P} und das Tripel w⃗, r⃗_{P} , v⃗ ist ein Rechtssystem. (Figur !) Es ergibt sich

v⃗ = w⃗ × r⃗_{P}.

• Gleichung einer Ebene. Ist die Ebene E durch 3 Punkte (A, B, C) gegeben, so ist n⃗ = \overrightarrow{AB} × \overrightarrow{AC} senkrecht zu E. Somit ist die Gleichung

(\overrightarrow{AB} × \overrightarrow{AC}) · r⃗_{P} = (\overrightarrow{AB} × \overrightarrow{AC}) · r⃗_{A}

eine Gleichung für E.

§4. Das gemischte Produkt (oder Spatprodukt)

Gegeben drei Vektoren a⃗, b⃗, c⃗, sie spannen ein Parallelepiped auf mit Volumen V. Wir definieren

[ a⃗, b⃗, c⃗ ] = \{ \begin{matrix}0 & falls V = 0 (a⃗, b⃗, c⃗ sind komplanar) \\ V & falls a⃗, b⃗, c⃗ ein Rechtssystem bilden \\ −V & falls a⃗, b⃗, c⃗ ein Linkssystem bilden \end{matrix}

Aus der Definition folgt sofort

[ a⃗, b⃗, c⃗] = [ b⃗, c⃗, a⃗] = [ c⃗, a⃗, b⃗]
= −[ b⃗, a⃗, c⃗] = −[ a⃗, c⃗, b⃗] = −[ c⃗, b⃗, a⃗]

Das Volumen V lässt sich als Basis × Höhe berechnen. Nehmen wir als Basis das Parallelogramm aufgespannt von a⃗ und b⃗, so gilt

V = |a⃗ × b⃗| · h

Eine Normale zur Ebene aufgespannt von a⃗ und b⃗ ist der Vektor a⃗ × b⃗. Sei φ der Winkel zwischen a⃗ × b⃗ und c⃗. Dann gilt h = |c⃗| · | cos φ|, also

V = |a⃗ × b⃗||c⃗| · cos φ = |(a⃗ × b⃗) · c⃗|

a⃗, b⃗, c⃗ ist ein Rechtssystem genau wenn φ spitz ist, d.h. cos φ > 0 und ein Linkssystem genau dann wenn φ stumpf ist, d.h. cos φ < 0. Es folgt [a⃗, b⃗, c⃗] = (a⃗ × b⃗) · c⃗

Folgerung: Da [a⃗, b⃗, c⃗] = [b⃗, c⃗, a⃗] gilt,

(a⃗ × b⃗) · c⃗ = (b⃗ × c⃗) · a⃗

In Koordinaten ist (mit a⃗ = ( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix} ), b⃗ = ( \begin{matrix}b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix} ), c⃗ = ( \begin{matrix}c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{matrix} ))

[ a⃗, b⃗, c⃗] = a_{1}| \begin{matrix}b_{2} c_{2} \\ b_{3} c_{3} \end{matrix} | + a_{2}| \begin{matrix}b_{3} c_{3} \\ b_{1} c_{1} \end{matrix} | + a_{3}| \begin{matrix}b_{1} c_{1} \\ b_{2} c_{2} \end{matrix} |

= a_{1}| \begin{matrix}b_{2} c_{2} \\ b_{3} c_{3} \end{matrix} | − a_{2} | \begin{matrix}b_{1} c_{1} \\ b_{3} c_{3} \end{matrix} | + a_{3} | \begin{matrix}b_{1} c_{1} \\ b_{2} c_{3} \end{matrix} |

=: | \begin{matrix}a_{1} b_{1} c_{1} \\ a_{2} b_{2} c_{2} \\ a_{3} b_{3} c_{3} \end{matrix} |  “3-reihige” Determinante

Anwendungen:

• Volumen eines von 4 Punkten (A, B, C, D) aufgespannten Tetraeders T. Das Parallelepiped aufgespannt von den 3 Vektoren \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} enthält 6 Tetraeder mit Volumen T. Somit

V = \frac{1}{6} [ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}] .

• Abstand Gerade-Gerade. Sei g durch A, B und h durch C, D gegeben. Sei P auf g und Q auf h so, dass |\overrightarrow{P Q}| der gewünschte Abstand d ist. Der Vektor \overrightarrow{P Q} ist senkrecht zu g und h. Sei

n⃗ = \frac{\overrightarrow{AB} × \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB} × \overrightarrow{CD}|}

und damit \overrightarrow{P Q} = (\overrightarrow{AC})n⃗. Es folgt

d = |(r⃗_{C} − r⃗_{A}) · n⃗| = | (r⃗_{C} − r⃗_{A}) · (\frac{\overrightarrow{AB} × \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB} × \overrightarrow{CD}|})
= \frac{[ r⃗_{C} − r⃗_{A}, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}]}{|\overrightarrow{AB} × \overrightarrow{CD}|}

• Lösung eines Systems von 3 linearen Gleichungen. Das System

a_{1}x_{1} + b_{1}x_{2} + c_{1}x_{3} = d_{1}
a_{2}x_{1} + b_{2}x_{2} + c_{2}x_{3} = d_{2}
a_{3}x_{1} + b_{3}x_{2} + c_{3}x_{3} = d_{3}

für die Unbekannten x_{1}, x_{2}, x_{3} kann verktoriell geschrieben werden:

x_{1}a⃗ + x_{2}b⃗ + x_{3}c⃗ = d⃗  | ×b⃗
x_{1}(a⃗ × b⃗) + x_{3}(c⃗ × b⃗) = d⃗ × b⃗ | ·c⃗
x_{1}[ a⃗, b⃗, c⃗] = [ d⃗, b⃗, c⃗]
x_{1} = \frac{[ d⃗, b⃗, c⃗]}{[ a⃗, b⃗, c⃗]} .

Es folgt analog:

x_{2} = \frac{[ a⃗, d⃗, c⃗]}{[ a⃗, b⃗, c⃗]} x_{3} = \frac{[ a⃗, b⃗, d⃗]}{[a⃗, b⃗, c⃗]}

Als unmittelbare Folgerung haben wir die Identität

[ d⃗, b⃗, c⃗] a⃗ + [ a⃗, d⃗, c⃗] b⃗ + [ a⃗, b⃗, d⃗] c⃗ = [ a⃗, b⃗, c⃗] d⃗ .

Diese Formeln (Cramer) lassen sich für Systemen von n Gleichungen mit n Unbekannten verallgemeinern.

§5. Mehrfache Produkte

Wir haben bis jetzt 3 Produkte definiert

• das Sklarprodukt a⃗ · b⃗

• das Vektorprodukt a⃗ × b⃗

• das gemischte Produkt (a⃗ × b⃗) · c⃗ = [a⃗, b⃗, c⃗].

Es gibt weitere Kombinationen: z.B.

a⃗ × (b⃗ × c⃗), (a⃗ × b⃗) · (c⃗ × d⃗), (a⃗ × b⃗) × (c⃗ × d⃗) …

Eine Formel für a⃗ × (b⃗ × c⃗): Zuerst muss man merken, dass (im allgemeinen)

(a⃗ × b⃗) × c⃗ ≠ a⃗ × (b⃗ × c⃗)

d.h. das Vektorprodukt ist nicht assoziativ. Es gilt z.B.

\begin{aligned}e⃗_{1} × (e⃗_{1} × e⃗_{2}) & = & e⃗_{1} × e⃗_{3} & = & −e⃗_{2} \\ (e⃗_{1} × e⃗_{1}) × e⃗_{2} & = & 0 × e⃗_{2} & = & 0 . \end{aligned}

Man hat die Grassmannsche Identität:

(1) (a⃗ × b⃗) × c⃗ = (a⃗ · c⃗)b⃗ − (b⃗ · c⃗)a⃗

(2) a⃗ × (b⃗ × c⃗) = (a⃗ · c⃗)b⃗ − (a⃗ · b⃗)c⃗.

Wir beweisen nur die erste. Ein (langer) Beweis ist mit Koordinaten links und rechts zu rechnen. Ein geschickter Beweis ist die Koordinaten anzupassen: Wir wählen:

- e⃗_{1} in Richtung von a⃗.

- e⃗_{2} so, dass b⃗ in der Ebene liegt, welche von e⃗_{1} und e⃗_{2} erzeugt und

- e⃗_{3} = e⃗_{1} × e⃗_{2}.

Dann haben wir a⃗ = ( \begin{matrix}a_{1} \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) b⃗ = ( \begin{matrix}b_{1} \\ b_{2} \\ 0 \end{matrix} ) c⃗ = ( \begin{matrix}c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{matrix} )

Es folgt: a⃗ × b⃗ = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ a_{1}b_{2} \end{matrix} ) (a⃗ × b⃗) × c⃗ = ( \begin{matrix}−a_{1}b_{2}c_{2} \\ a_{1}b_{2}c_{1} \\ 0 \end{matrix} )

und (a⃗ · c⃗)b⃗ − (b⃗ · c⃗)a⃗ = ( \begin{matrix}a_{1}c_{1}b_{1} \\ a_{1}c_{1}b_{2} \\ 0 \end{matrix} ) − ( \begin{matrix}(b_{1}c_{1} + b_{2}c_{2})a_{1} \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−a_{1}b_{2}c_{2} \\ a_{1}b_{2}c_{1} \\ 0 \end{matrix} )

Als Folgerung bekommen wir die Jacobische Identität

(a⃗ × b⃗) × c⃗ + (b⃗ × c⃗) × a⃗ + (c⃗ × a⃗) × b⃗ = 0

Beweis: (a⃗ · c⃗)b⃗ − (b⃗ · c⃗)a⃗ + (b⃗ · a⃗)c⃗ − (c⃗ · a⃗)b⃗ + (c⃗ · b⃗)a⃗ − (a⃗ · b⃗)c⃗ = 0.

Bemerkung: Ein Vektorraum V mit Produkt “⋆” so, dass

(1) a ⋆ b = −b ⋆ a

(2) (a ⋆ b) ⋆ c + (b ⋆ c) ⋆ a + (c ⋆ a) ⋆ b = 0 heisst Lie-Algebra.

Weitere Identitäten: Behauptung:

(a⃗ × b⃗) · (c⃗ × d⃗) = (a⃗ · c⃗)(b⃗ · d⃗) − (a⃗ · d⃗)(b⃗ · c⃗) (Lagrange)
= | \begin{matrix}a⃗ · c⃗ b⃗ · c⃗ \\ a⃗ · d⃗ b⃗ · d⃗ \end{matrix} |

Beweis:

(a⃗ × b⃗) · (c⃗ × d⃗) = [ a⃗, b⃗, c⃗ × d⃗] = [ b⃗, c⃗ × d⃗, a⃗]
= a⃗ · ( b⃗ × (c⃗ × d⃗) )
= a⃗ · { (b⃗ · d⃗)c⃗ − (b⃗ · c⃗)d⃗}
= (a⃗ · c⃗)(b⃗ · d⃗) − (a⃗ · d⃗)(b⃗ · c⃗).
□

Spezialfall: |a⃗ × b⃗|^{2} = |a⃗|^{2}|b⃗|^{2} − (a⃗ · b⃗)^{2}. Bemerkung: In ℝ^{n} haben wir das Skalarprodukt a⃗ · b⃗ = (a_{1}b_{1} + ⋯ + a_{n}b_{n}) und die Norm |a⃗| = \sqrt{a⃗ · a⃗}. Ein Vektorprodukt × in ℝ^{n} mit |a⃗ × b⃗|^{2} = |a⃗|^{2}|b⃗|^{2} − (a⃗ · b⃗)^{2} gibt es nur für n = 3 und n = 7! Behauptung:

\begin{aligned}(a⃗ × b⃗) × (c⃗ × d⃗) & = & [ a⃗, b⃗, d⃗] c⃗ & − & [ a⃗, b⃗, c⃗] d⃗ \\ & = & [ a⃗, c⃗, d⃗] b⃗ & − & [ b⃗, c⃗, d⃗] a⃗. \end{aligned}

Beweis: Sei u⃗ = a⃗ × b⃗. Dann

u⃗ × (c⃗ × d⃗) = (u⃗ · d⃗) c⃗ − (u⃗ · c⃗) d⃗ = [ a⃗, b⃗, d⃗] c⃗ − [ a⃗, b⃗, c⃗] d⃗

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Spezialfall: (b⃗ × c⃗) × (c⃗ × a⃗) = [ a⃗, b⃗, c⃗] c⃗.