Kapitel III Ebene Geometrie

§1. Translationen, Rotationen, Spiegelungen

Wir betrachten folgende Grundtypen von Bewegungen:

1) Translationen: Eine Translation T wird durch ihren Translationsvektor a⃗ beschrieben: die Richtung von a⃗ gibt die Richtung der Translation und der Betrag von a⃗ gibt die Länge der Translation. Sei P^{∗} das Bild von P unter T. Es gilt \overrightarrow{OP^{∗}} = \overrightarrow{OP}+a⃗.

In Koordinaten haben wir, mit P = (x_{1}, x_{2}), P^{∗} = (x_{1}^{∗}, x_{2}^{∗}) und a = (\begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}):

\begin{aligned}x_{1}^{∗} & = & x_{1} + a_{1} \\ x_{2}^{∗} & = & x_{2} + a_{2} \end{aligned}

oder mit Matrizen: x^{∗} = T_{a}(x) = x + a, mit x = (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}), x^{∗} = (\begin{matrix}x_{1}^{∗} \\ x_{2}^{∗} \end{matrix}), und a = (\begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}).

Es gilt :

\begin{aligned}T_{a+b} & = & T_{a} ∘ T_{b} = T_{b} ∘ T_{a} \\ (T_{a})^{−1} & = & T_{−a} \\ T_{0} & = & E \end{aligned}

Dabei bezeichnet T_{1} ∘ T_{2} die Zusammensetzung (zuerst T_{2} und dann T_{1}), T^{−1} die inverse Abbildung und E die Identität, E : x ↦ x. Eine Translation T ≠ E hat keine Fixpunkte.

Bemerkung: Eine Sammlung G von bijektiven Transformationen einer Menge M in sich heisst Gruppe von Transformationen falls:

(1) T_{1}, T_{2} ∈ G ⟹ T_{1} ∘ T_{2} ∈ G,

(2) E ∈ G.

(3) T ∈ G ⟹ T^{−1} ∈ G,

Bei der Definition einer abstrakten Gruppe wird zusätzlich zu den Eigenschaften (1),

(2) und (3) die Assoziativität des Kompositionsgesetzes verlangt:

T_{1}, T_{1}, T_{3} ∈ G ⟹ T_{1} ∘ (T_{2} ∘ T_{3}) = (T_{1} ∘ T_{2}) ∘ T_{3}.

Die Zusammensetzung von Transformationen ist automatisch assoziativ.

Die Menge der Translationen in ℝ^{2} ist eine Gruppe von Transformationen.

2) Drehungen: Eine Drehung wird durch ihr Zentrum Z und ihren Drehwinkel α bestimmet. Sei zuerst Z = O. Wir benützen Polarkoordinaten ρ und φ; der Betrag ρ von P ∈ ℝ^{2} ist der Abstand ρ = |\overrightarrow{OP}| und φ ist der orientierte Winkel von der x-Achse zum Strahl OP. Der Gegenuhrzeigersinn wird als positiver Drehsinn angesehen. Der Winkel φ heisst Polarwinkel oder Argument von P. Für P = (x_{1}, x_{2}) gilt:

x_{1} = ρ cos φ  x_{2} = ρ sin φ
ρ = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} φ = Arg P = \begin{cases}arctan \frac{x_{2}}{x_{1}} (x_{1} > 0) \\ − arctan \frac{x_{2}}{x_{1}} (x_{1} < 0) \end{cases}

Sei P^{∗} das Bild von P unter der Drehung um O um den Winkel α. Es gilt

\begin{aligned}Arg P^{∗} & = & Arg P + α \\ |OP^{∗}| & = & |OP |. \end{aligned}

Folglich sind die Koordinaten (x_{1}^{∗}, x_{2}^{∗}) von P^{∗} gegeben durch

x_{1}^{∗} = ρ cos(φ + α) = cos αρ cos φ − sin αρ sin φ
x_{2}^{∗} = ρ sin(φ + α) = cos αρ sin φ + sin αρ cos φ

oder

x_{1}^{∗} = cos αx_{1} − sin αx_{2}
x_{2}^{∗} = sin αx_{1} + cos αx_{2}

In Matrix-Form haben wir

x^{∗} = R(α)x

mit

R(α) = (\begin{matrix}cos α & − sin α \\ sin α & cos α \end{matrix}) .

Die Zusammensetzung von Drehungen um O mit Winkeln α und β ist gegeben durch das Produkt der Matrizen R(α) und R(β). Es gilt:

\begin{aligned}R(α)R(β) & = & R(β)R(α) = R(α + β) \\ R(α)^{−1} & = & R(−α) \\ R(0) & = & E. \end{aligned}

Insbesondere bilden die Drehungen um O eine Gruppe.

Bemerkung: Der Winkel α liegt im Intervall [0, 2π[, die Addition der Winkel wird “modulo” 2π ausgeübt, d.h. die Winkel α und α + k · 2π, k ∈ ℤ, werden als gleich betrachtet.

3. Spiegelungen: Eine Spiegelung wird durch ihre Achse g bestimmt. Sei P^{∗} das Bild von P durch die Spiegelung an g. Sei h die Gerade durch P senkrecht zu g und sei Q = g ∩ h. Es gilt (Figur!)

\overrightarrow{QP^{∗}} = −\overrightarrow{QP}.

Wir betrachten zuerst den Fall, wo die Achse g durch O geht und die x_{1}-Achse unter dem Winkel β/2 schneidet (Figur!). Sei P = (x_{1}, x_{2}), φ = Arg P, ρ = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}. Das Bild P^{∗} von P hat Betrag ρ^{∗} = ρ und Argument

φ^{∗} = Arg P + 2(β/2 − Arg P) = β − Arg P = β − φ (Figur!)

Es ergibt sich, da x_{1} = ρ cos φ, x_{2} = ρ sin φ,

x_{1}^{∗} = ρ^{∗} cos φ^{∗} = ρ cos(β − φ) = cos βx_{1} + sin βx_{2}
x_{2}^{∗} = ρ^{∗} sin φ^{∗} = ρ sin(β − φ) = sin βx_{1} − cos βx_{2}.

In Matrix-Form:

x^{∗} = S(β)x

mit

S(β) = (\begin{matrix}cos β & sin β \\ sin β & − cos β \end{matrix}) .

Übung: S(β)^{2} = E, S(β)S(γ) = R(β − γ).

§2. Orthogonale Matrizen

Für jede (m × n)-Matrix A = (a_{ij}), i = 1, …, m, j = 1, …, n, bezeichnen wir mit A^{t} die transponierte Matrix:

(A^{t})_{ij} = (A)_{ji}

Beispiel:

(\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix})^{t} = (\begin{matrix}a & c \\ b & d \end{matrix}) , (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})^{t} = (x_{1} x_{2})

Übung:

1) (AB)^{t} = B^{t}A^{t}

2) (A^{−1})^{t} = (A^{t})^{−1} falls A invertierbar ist

3) R(α)^{t} = R(−α), S(β)^{t} = S(β)

4) P P^{t} = E = P^{t}P für P = R(α) oder = S(β).

Definition: Eine (n × n)- Matrix P heisst orthogonal falls

P P^{t} = P^{t}P = E.

Insbesondere ist eine orthogonale Matrix P invertierbar: P^{−1} = P^{t}. Die Matrix E

ist offenbar orthogonal. Sei P = (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}); es ergibt sich

P^{t}P = (\begin{matrix}a^{2} + c^{2} & ab + cd \\ ab + cd & b^{2} + d^{2} \end{matrix})

Also:

P orthogonal ⟺ \begin{cases}a^{2} + c^{2} = 1 = b^{2} + d^{2} \\ ab + cd = 0. \end{cases}

In Worten: die Spalten von P (als Vektoren in ℝ^{2}) haben Länge 1 und sind zueinander orthogonal.

Bemerkung: Aus P P^{t} = E folgt die entsprechende Eigenschaft für die Zeilen: sie haben Länge 1 und sind zueinander orthogonal.

Satz: Sind P und Q orthogonal, so gilt

1) P Q ist orthogonal, 2) P^{−1} ist orthogonal.

Insbesondere bildet die Menge der orthogonalen (2 × 2)-Matrizen eine Gruppe. Sie heisst orthogonale Gruppe und wird mit O(2) bezeichnet.

Beweis: Aus (P Q)^{t} = Q^{t}P^{t} folgt (P Q)(P Q)^{t} = P QQ^{t}P^{t} = E. Die Behauptung 2) folgt aus (P^{−1})^{t} = (P^{t})^{−1}. □

Für eine Matrix A = (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) sei det(A) := |_{c d}^{a b}| = ad − bc.

Übung:

1) det(AB) = det(A)·det(B); det(E) = 1, det(A^{t}) = det(A), det(A^{−1}) = det(A)^{−1}.

2) A ist invertierbar dann und nur dann wenn det(A) ≠ 0; insbesondere

A^{−1} = \frac{1}{det(A)} (\begin{matrix}d & −b \\ −c & a \end{matrix}) .

Satz: 1) P orthogonal ⟹ det(P) = ±1.

2) P orthogonal und det(P) = 1 ⟺ P = R(α), α ∈ ℝ.

3) P orthogonal und det(P) = −1 ⟺ P = S(α), α ∈ ℝ.

Beweis: 1) Aus P P^{t} = E folgt det(P)^{2} = det(E) = 1.

Bei 2) und 3) sind die Implikationen “⟸” klar. Sei P = (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) orthogonal. Aus a^{2} + c^{2} = 1 folgt a = cos α, c = sin α für α ∈ [0, 2π[. Die Bedingung ab + cd = 0 bedeutet −b/c = d/a oder

\frac{−b}{sin α} = \frac{d}{cos α} =: λ.

Also gilt b = −λ sin α, d = λ cos α für eine Zahl λ ∈ ℝ. Weiter gilt det(P) = ad − bc = λ. Also aus det(P) = 1 folgt λ = 1 und P = R(α). Ist det(P) = −1 so ist P = S(α). □

Die Menge der (2 × 2)-orthogonalen Matrizen mit Determinante gleich 1 ist eine Untergruppe von O(2). Sie heisst die spezielle orthogonale Gruppe und wird mit SO(2) bezeichnet.

Jede Matrix P = (\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) definiert eine Abbildung ℝ^{2} → ℝ^{2}:

A : x = (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) ↦ y = Ax, \begin{cases}y_{1} = a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} \\ y_{2} = a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} \end{cases}

Die Abbildung ist linear, d.h.,

\begin{aligned}A(x + x′) & = & Ax + Ax′ \\ A(λx) & = & λAx \end{aligned}

und jede lineare Abbildung ℝ^{2} → ℝ^{2} lässt sich so darstellen (Lineare Algebra !). Bemerkung: Rotationen um O und Spiegelungen an Geraden durch O sind lineare Abbildungen. Translationen sind keine.

△^{!}

Satz: Sei P : ℝ^{2} → ℝ^{2} eine lineare Abbildung. Die Matrix P ist orthogonal dann und nur dann wenn die Abbildung P längentreu ist.

Beweis: In Matrix-Form wird das Skalarprodukt (x, y) ↦ x · y = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} geschrieben als

x · y = x^{t}y = (x_{1}, x_{2}) (\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2}.

(Wir notieren Vektoren als Spalten-Matrizen). Insbesondere ist |x|^{2} = x^{t}x. Ist P längentreu, dass heisst

|P x| = |x| für alle x ∈ ℝ

so folgt aus

|x + y|^{2} = |x|^{2} + |y|^{2} + 2(x · y)

dass P das Skalarprodukt invariant lässt:

P x · P y = x · y

Also gilt (P x)^{t}P y = x^{t}P^{t}P y = x^{t}y für alle x und y ∈ ℝ^{2}. Wählt man x = e_{i} und y = e_{j} (standard Basisvektoren), i = 1, 2 und j = 1, 2, so folgt

(P^{t}P)_{ij} = δ_{ij}.

Also P^{t}P = E und P ist orthogonal. Umgekehrt, aus P^{t}P = E folgt

P x · P y = x^{t}P^{t}P y = x^{t}Ey = x^{t}y = x · y

für alle x, y ∈ ℝ^{2}. Insbesondere gilt |P x|^{2} = |x|^{2} und P ist längetreu. □

Bemerkung: Aus dem obigen Beweis folgt, dass das Skalarprodukt invariant ist, falls die Abbildung längentreu ist. Insbesondere gilt für eine linear Abbildung P:

P längentreu ⟹ P winkeltreu.

Die Umkehrung gilt nicht: die Abbildung x ↦ λx, λ ≠ ±1, ist linear, winkeltreu, jedoch nicht längentreu.

§3 Bewegungen

Definition Sei P eine orthogonale (2 × 2)-Matrix und a ∈ ℝ^{2} eine fester Vektor. Die Abbildung f : ℝ^{2} → ℝ^{2},

x^{∗} = f(x) = P x + a

heisst Bewegung in ℝ^{2}. Sie wird mit f_{P,a} bezeichnet. Die Bewegung heisst eigentlich falls det(P) = 1 und uneigentlich falls det(P) = −1.

Beispiele:

1) f_{E,a} ist die Translation um a.

2) f_{R(α),0} ist die Drehung um O mit dem Winkel α.

3) f_{S(β),0} ist die Spiegelung an der Geraden durch O mit Steigung tan(β/2).

Satz 1: Es gilt:

1) f_{Q,b} ∘ f_{P,a} = f_{QP,Qa+b}, 2) f_{P,a}^{−1} = f_{P^{−1},−P^{−1}a}. Insbesondere bilden die Bewegungen eine Gruppe und die eigentlichen eine Untergruppe davon.

Beweis: Für 1) haben wir

(f_{Q,b} ∘ f_{P,a})(x) = Q(P x + a) + b = QP x + Qa + b.

2) folgt unmittelbar aus 1). □

Satz 2: 1) Jede Bewegung ist die Zusammensetzung von Rotationen durch O, Spiegelungen an Geraden durch O und Translationen.

2) Beliebige Rotationen, Spiegelungen und Translationen sind Bewegeungen.

Beweis: Behauptung 1) ist nicht neu (§2), da f_{P,a} = f_{E,a} ∘ f_{P,0} und da jede orthogonale (2 × 2)-Matrix P von der Form R(α) (det(P) = 1) ist, b.z.w. von der Form S(β) (det(P) = −1).

2) Eine Rotation f mit Zentrum Z und Winkel α lässt sich als

f = f_{E,z} ∘ f_{R(α),0} ∘ f_{E,−z} = f_{R(α),z−R(α)z}

schreiben, wobei z der Ortsvektor von Z ist. Analog sei U der Schnittpunkt der Spiegelungsachse mit der x_{1}-Achse (wir nehmen an, dass g nicht parallel zur x_{1}- Achse ist). Dann lässt sich die Spiegelung an g als Zusammensetzung

f = f_{E,u} ∘ f_{S(β),0} ∘ f_{E,−u} = f_{S(β),u−S(β)u}

darstellen. □

Es gibt eine 4. Art von Bewegungen, welche wir berücksichtigen müssen: Die Zusammensetzung einer Spiegelung mit einer Translation um einen Vektor a ≠ 0 parallel zur Spiegelungsachse heisst eine Gleitspiegelung. Eine Gleitspiegelung ist eine uneigentliche Bewegung ohne Fixpunkt.

Satz 3: 1) Sei f eine eigentliche Bewegung von ℝ^{2}. Dann

f ist eine Translation ⟺ f hat keine Fixpunkte
f ist eine Drehung  ⟺ f hat genau einen Fixpunkt
f ist die Identität  ⟺ f hat mehr als einen Fixpunkt.

2) Sei f uneigentlich. Dann

f ist eine Spiegelung  ⟺ f hat Fixpunkte
f ist eine Gleitspiegelung ⟺ f hat keine Fixpunkte.

Beweis: Die Implikationen in Richtung ⟹ sind alle klar. Für die Umkehrungen sei zuerst f eigentlich, f(x) = P x + a, det(P) = 1, P = R(α) und f ≠ E. Hat f einen Fixpunkt z, so folgt aus

R(α)z + a = z

dass a = z − R(α)z und

f = f_{R(α),z−R(α)z} = f_{E,z} ∘ f_{R(α),0} ∘ f_{E,−z}

und somit ist f eine Drehung mit Zentrum Z, \overrightarrow{OZ} = z. Ist P = E, so ist f eine Translation und hat keine Fixpunkte. Es genügt also zu zeigen, dass

P ≠ E, f eigentlich, ⟹ f hat einen Fixpunkt.

Die Existenz eines Fixpunkt z ist äquivalent mit der Lösbarkeit der Gleichung

(P − E)z = −a

da P z + a = z. Es genügt also zu zeigen, dass det(P − E) ≠ 0 falls R(α) ≠ E: dann ist P − E invertierbar und z = −(P − E)^{−1}a. Es gilt

det(P − E) = det (\begin{matrix}cos α − 1 & − sin α \\ sin α & cos α − 1 \end{matrix}) = 2(1 − cos α).

Für 0 ≤ α < 2π ist cos α = 1 genau dann wenn α = 0, d.h. P = E.

Um Behauptung 2) zu beweisen, brauchen wir zusätzliche Eigenschaften von Gleitspiegelungen:

Satz 4: 1) Sei f eine Spiegelung (Achse beliebig) und sei f_{1} eine Drehung um 180^{∘} (Zentrum beliebig). Dann ist f_{2} = f_{1} ∘ f eine Gleitspiegelung.

2) Sei f eine Gleitspiegelung und sei z = \frac{u+f(u)}{2} für ein beliebiges (aber festes) u. Sei f_{1} die Drehung mit Zentrum z und Winkel 180^{∘}. Dann ist f_{2} = f_{1} ∘ f eine Spiegelung.

Beweis: 1) Wir wählen die Koordinaten so, dass die Achse der Spiegelung f die x_{1}-Achse ist. Es gilt dann für y = f(x),

\begin{aligned}y_{1} & = & x_{1} \\ y_{2} & = & −x_{2}. \end{aligned}

Ist Z = (r_{1}, r_{2}) das Zentrum der Drehung f_{1}, so gilt für x^{∗} = f_{1}(y):

\begin{aligned}x_{1}^{∗} & = & −y_{1} + 2r_{1} \\ x_{2}^{∗} & = & −y_{2} + 2r_{2}. \end{aligned}

Es folgt für x^{∗} = (f_{1} ∘ f)(x):

\begin{aligned}x_{1}^{∗} & = & −x_{1} + 2r_{1} \\ x_{2}^{∗} & = & x_{2} + 2r_{2}. \end{aligned}

Diese Formeln beschreiben eine Gleitspiegelung mit Achse x_{1} = r_{1} und Verschie-

bungsvektor a = (\begin{matrix}0 \\ 2r_{2} \end{matrix}).

2) Wir wählen die Koordinaten so, dass die Achse der Gleitspiegelung f die x_{1}-Achse

ist. Mit x^{∗} = f(x) und a = (\begin{matrix}2r_{1} \\ 0 \end{matrix}) ergibt sich:

\begin{aligned}x_{1}^{∗} & = & x_{1} + 2r_{1} \\ x_{2}^{∗} & = & −x_{2}. \end{aligned}

Es folgt für z = \frac{u+f(u)}{2} = \frac{u+u^{∗}}{2} :

\begin{aligned}z_{1} & = & u_{1} + r_{1} \\ z_{2} & = & 0. \end{aligned}

Sei x^{∗} ↦ y = f_{1}(x^{∗}) die Drehung mit Zentrum Z = (z_{1}, z_{2}) und Winkel 180^{∘}. Es gilt

\begin{aligned}y_{1} & = & −x_{1}^{∗} + 2(u_{1} + r_{1}) \\ y_{2} & = & −x_{2}^{∗} \end{aligned}

somit für x ↦ y = (f_{1} ∘ f)(x):

\begin{aligned}y_{1} & = & −x_{1} + 2u_{1} \\ y_{2} & = & x_{2} \end{aligned}

und f_{1} ∘ f ist eine Spiegelung mit Achse x_{1} = u_{1}. □

Wir beweisen nun den zweiten Teil vom Satz 3:

Sei f = f_{P,a} eine uneigentliche Bewegung, P = S(β). Hat f einen Fixpunkt Z, so gilt a = z − S(β)z und

f = f_{S(β),z−S(β)z} = f_{E,z} ∘ f_{S(β),0} ∘ f_{E,−z}

ist eine Spiegelung mit Achse durch Z. Hat f keinen Fixpunkt und ist u beliebig, so hat f_{1} ∘ f, wobei f_{1} eine Drehung ist mit Winkel 180^{∘} und Zentrum \frac{u+f(u)}{2}, den Fixpunkt u. Da f_{1} eigentlich ist, ist f_{1} ∘ f uneigentlich. Da f_{1} ∘ f den Fixpunkt u hat, ist nach 1) f_{1} ∘ f eine Spiegelung. Es folgt aus Satz 4 dass f = f_{1} ∘ (f_{1} ∘ f) eine Gleitspiegelung ist. □

Beispiele:

1) Die Zusammensetzung f_{R,a} einer Drehung R mit einer Translation Ta⃗ ist wieder eine Drehung. Um das Zentrum zu bekommen, genügt es einen Fixpunkt zu konstruieren. Sei Z das Zentrum der Drehung R. Sei g die Gerade durch Z senkrecht zum Translationsvektor a⃗. Es gibt zwei Punkte P und Q so, dass der orientierte Winkel ∢(ZP, ZQ) gleich dem Drehwinkel α, g die Winkelhalbierende und \overrightarrow{P Q} = −a⃗ ist. Nach Konstruktion ist P Fixpunkt von f.

2) Die Zusammensetzung von zwei Drehungen R_{1} (Winkel α_{1}, Zentrum Z_{1}) und R_{2} (Winkel α_{2}, Zentrum Z_{2}) ist wieder eine Drehung. Wir konstruieren ihr Zentrum. Sei l die Gerade durch Z_{1} und Z_{2}. Seien g_{1} und h_{1} Geraden durch Z_{1} so dass l die Winkelhalbierende ist und h_{1} das Bild von g_{1} durch die Drehung R_{1}. Seien g_{2} und h_{2} durch Z_{2} analog definiert (bez. R_{2}). Der Schnittpunkt g_{1} ∩ h_{2} ist Fixpunkt der Zusammensetzung R_{2} ∘ R_{1}.

3) Die Zusammensetzung f_{S,a} einer Spiegelung S mit einer Translation Ta⃗ ist entweder eine Spiegelung oder eine Gleitspiegelung. Sei a = b + c so zerlegt, dass b senkrecht zur Spiegelungsachse von S ist und c ist parallel zu dieser Achse. Sei g′ die Verschiebung von g um den Vektor b/2. Ist c = 0 so ist f eine Spiegelung an g′; ist c ≠ 0, so ist f eine Gleitspiegelung mit Achse g′ und Vektor c.

§4. Kegelschnitte

Sei K ein Rotationskegel in ℝ^{3}. Der Kegel wird durch die Spitze S, die Achse g und den Halböffnungswinkel α bestimmt. Der Schnitt von K mit einer Ebene E definiert eine Kurve γ im Raum. Die Kurve γ kann verschiedene Gestalten haben:

• Punkt (E schneidet K nur in S)

• Gerade (E ist tangential an einer Mantellinie)

• Paar von Geraden, welche sich schneiden (2 Mantellinien)

• Parabel (E ist parallel zu einer Mantellinie)

• Ellipse

• Hyperbel

Gleichung eines Kegels: Die Richtung der Achse g sei durch den Vektor a⃗ gegeben. Es gilt

P ∈ Kegel K ⟺ ω := ∢ (\overrightarrow{SP}, a⃗) = \begin{cases}α \\ π − α \end{cases}
⟺ cos^{2} ω = cos^{2} α
⟺ [(\overrightarrow{OP} − \overrightarrow{OS}) · a⃗]^{2} = |\overrightarrow{OP} − \overrightarrow{OS}|^{2} |a⃗|^{2} cos^{2} α

Beispiel: Sei S = O und g die x_{3}-Achse. Es folgt mit a⃗ = e⃗_{3}

x_{3}^{2} = (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}) · b^{2}, b = cos α.

Wir wählen für E verschiedene Ebenen:

E: x_{3} = 0 Schnitt: Punkt O
x_{3} = 1  x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (1 − cos^{2} α)/ cos^{2} α^{2} Kreis
x_{2} = 0  x_{1}^{2} cos^{2} α − x_{3}^{2}(1 − cos^{2} α) =

(x_{1} cos α + x_{3} sin α)(x_{1} cos α − x_{3} sin α) = 0 2 Geraden

x_{2} = 1  x_{1}^{2} cos^{2} α − x_{3}^{2}(1 − cos^{2} α) = − cos^{2} α
x_{3}^{2} tan^{2} α − x_{1}^{2} = 1 Hyperbel.

Allgemein ist die Gleichung vom Kegel K:

[(x_{1}−s_{1})a_{1}+(x_{2}−s_{2})a_{2}+(x_{3}−s_{3})a_{3}]^{2} = [(x_{1}−s_{1})^{2}+(x_{2}−s_{2})^{2}+(x_{3}−s_{2})^{2}][a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}]·cos^{2} α.

Die Ebene E wird durch eine lineare Gleichung gegeben

b_{1}x_{1} + b_{2}x_{2} + b_{3}x_{3} = d.

Aus dieser Gleichung lässt sich eine Variable aus den anderen ausdrücken, z.B., falls b_{3} ≠ 0,

x_{3} = \frac{d − b_{1}x_{1} − b_{2}x_{2}}{b_{3}} = h(x_{1}, x_{2}).

Durch Einsetzen von x_{3} in die Gleichung f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 0 des Kegels ergibt sich eine Gleichung

g(x_{1}, x_{2}) = f(x_{1}, x_{2}, h(x_{1}, x_{2})) = 0

in den Variablen x_{1}, x_{2}. Diese Gleichung stellt eine Kurve \overline{γ} in der (x_{1}, x_{2})-Ebene dar.

Beh.: Die Kurve \overline{γ} ist die Projektion (parallel zur x_{3}-Richtung) der Schnittkurve γ = E ∩ K auf die Ebene (x_{1}, x_{2}).

Beweis: Sei P = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ γ. Die Projektion \overline{P} hat die Koordinaten (x_{1}, x_{2}, 0). Da P ∈ γ = K ∩ E gilt

f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 0 und x_{3} = h(x_{1}, x_{2}).

Also erfüllen die zwei ersten Koordinaten x_{1}, x_{2} die Gleichung g(x_{1}, x_{2}) = 0, d.h. \overline{P} ∈ \overline{γ}. Umgekehrt, sei \overline{P} = (x_{1}, x_{2}) ∈ \overline{γ}. Dann gilt g(x_{1}, x_{2}) = 0. Sei P = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) mit x_{3} = h(x_{1}, x_{2}); dann liegt P auf der Ebene E. Aus der Bedingung g(x_{1}, x_{2}) = 0 folgt f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 0, da g(x_{1}, x_{2}) = f(x_{1}, x_{2}, h(x_{1}, x_{2})). Somit ist P auf dem Kegel und P ∈ γ. □

Die Kurven γ und \overline{γ} haben denselben Typ (wobei Kreis und Ellipsen nicht unterschieden werden). Die Gleichung für \overline{γ} ist eine Gleichung in x_{1}, x_{2} vom Grad 2, d.h. der Gesamtgrad der einzelnen Monome ist höchstens gleich 2. Die allgemeine Form von f ist gegeben durch

f(x_{1}, x_{2}) = a_{11}x_{1}^{2} + 2a_{12}x_{1}x_{2} + a_{22}x_{2}^{2} + b_{1}x_{1} + b_{2}x_{2} + c

und die Bedingung f(x_{1}, x_{2}) = 0 ist die allgemeine Gleichung eines Kegelschnittes. Der Typ des Kegelschnittes (z.B. Parabel oder Ellipse) ist aus der Gleichung nicht ersichtlich. Die Gleichung f(x_{1}, x_{2}) = 0 hängt vom Koordinatensystem ab. In einem anderen Koordinatensystem, mit Koordinaten y_{1}, y_{2} wird die gleiche Kurve \overline{Γ} durch eine andere Gleichung gegeben.

Beispiel: Kreis mit Radius r und Zentrum A = (a_{1}, a_{2}) in einem System mit Koordinaten x_{1}, x_{2}:

(x_{1} − a_{1})^{2} + (x_{2} − a_{2})^{2} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} − 2a_{1}x_{1} − 2a_{2}x_{2} + a_{1}^{2} + a_{2}^{2} = r^{2}.

Wählt man neue Koordinaten (mit Ursprung in A):

y_{1} = x_{1} − a_{1}
y_{2} = x_{2} − a_{2}

so ist die Gleichung des Kreises

y_{1}^{2} + y_{2}^{2} = r^{2}.

Das neue System (y_{1}, y_{2}) ist durch eine Verschiebung des alten Systems um den Vektor \overrightarrow{OA} entstanden.

Allgemein wollen wir die allgemeine Gleichung eines Kegelschnittes durch eine geeignete Wahl des Koordinatensystems (Bewegung des Koordinatensystems) so vereinfachen, dass der Typ der Kurve sofort ersichtlich wird.

Wir untersuchen zuerst den quadratischen Teil der Gleichung:

q(x_{1}, x_{2}) = a_{11}x_{1}^{2} + 2a_{12}x_{1}x_{2} + a_{22}x_{2}^{2}.

Die quadratische Form q lässt sich auch in Matrix-Form darstellen

q(x_{1}, x_{2}) = x^{t}Ax mit x = \binom{x_{1}}{x_{2}} und A = \binom{a_{11} a_{12}}{a_{12} a_{22}}

Notiere, dass die Matrix A symmetrisch ist: A^{t} = A.

Ziel: Das “gemischte” Glied 2a_{12}x_{1}x_{2} mit “besseren” Koordinaten eliminieren. Die neuen Koordinaten seien y_{1} und y_{2}. Wir setzen

x_{1} = p_{11}y_{1} + p_{12}y_{2}
x_{2} = p_{21}y_{1} + p_{22}y_{2}

oder x = P y in Matrix-Form. Die Koordinatentransformation muss umkehrbar sein, d.h. P ist invertierbar. Da x = P y, ist die quadratische Form im neuen System durch den Ausdruck

q̃(y_{1}, y_{2}) = (P y)^{t}AP y = y^{t}P^{t}AP y = y^{t}Ãy

gegeben, wobei Ã = P^{t}AP. Das Glied 2a_{12}x_{1}x_{2} “eliminieren” heisst ein P zu finden, so dass

Ã = \binom{a_{1} 0}{0 a_{2}}

d.h. Ã soll diagonal sein.

Satz: Sei A = \binom{a_{11} a_{12}}{a_{12} a_{22}} symmetrisch. Es gibt P = R(α) so, dass Ã = P^{t}AP diagonal ist.

Beweis: Sei P = (\begin{matrix}cos α & − sin α \\ sin α & cos α \end{matrix}), α zuerst beliebig. Es ergibt sich, für die Koeffi-

zienten von Ã = (\begin{matrix}ã_{11} & ã_{12} \\ ã_{12} & ã_{22} \end{matrix})

ã_{11} = a_{11} cos^{2} α + a_{12} sin 2α + a_{22} sin^{2} α
2ã_{12} = (a_{22} − a_{11}) sin 2α + 2a_{12} cos 2α
ã_{22} = a_{11} sin^{2} α − a_{12} sin 2α + a_{22} cos^{2} α

Wir wollen, dass ã_{12} = 0. Also:

• falls a_{22} − a_{11} ≠ 0, so wählt man α so, dass tan 2α = \frac{2a_{12}}{a_{11} − a_{22}}

• falls a_{11} = a_{22}, so wählt man α = \frac{π}{4}, so dass cos 2α = 0 □

Bei einem Koordinatenwechsel x = P y sind i.A. die 2 Matrizen A und Ã = P^{t}AP verschieden. Jedoch:

Satz: Falls P ∈ O(2), so gilt det(A) = det(Ã).

Beweis: det(Ã) = det(P)^{2} det(A) = det(A), da (det P)^{2} = 1 für P ∈ O(2). □

Die Zahl

D(q) := det(A)

ist also unabhängig vom speziellen Koordinatensystem, falls wir uns auf Koordinatentransformationen P ∈ O(2) einschränken. Sie heisst Diskriminante von q.

Satz: Sei q(x_{1}, x_{2}) = x^{t}Ax eine quadratische Form in 2 Variablen x_{1}, x_{2}.

(1) Falls D(q) = det(A) = a_{11}a_{22} − a_{12}^{2} ≠ 0, so gibt es eine Drehung P = R(α) so,

dass für x = P y,

q̃(y_{1}, y_{2}) = a_{1}y_{1}^{2} + a_{2}y_{2}^{2}, a_{1} · a_{2} ≠ 0.

(2) Falls D(q) = 0, so gibt es eine Drehung P = R(α) so, dass

q̃(y_{1}, y_{2}) = a_{1}y_{1}^{2}.

Beweis: Sei P so, dass Ã = P^{t}AP = \binom{a_{1} 0}{0 a_{2}} diagonal wird. Falls D(q) ≠ 0, so sind a_{1} und a_{2} ≠ 0 und Fall (1) folgt. Falls D(q) = 0, so muss a_{1} oder a_{2} = 0. Durch eine weitere Drehung, können wir erreichen, dass a_{2} = 0.

Korollar: Sei q(x_{1}, x_{2}) = x^{t}Ax. Falls D(q) = 0, so lässt sich q(x_{1}, x_{2}) schreiben als

q(x_{1}, x_{2}) = c · (ax_{1} + bx_{2})^{2}, a, b, c ∈ ℝ

Beweis vom Korollar: Falls x = P y die Koordinatentransformation ist, so folgt y = P^{−1}x = P^{t}x (da P^{−1} = P^{t}) insbesondere

y_{1} = p_{11}x_{1} + p_{21}x_{2}
y_{2} = p_{12}x_{1} + p_{22}x_{2}.

Also q̃(y_{1}, y_{2}) = a_{1}(p_{11}x_{1} + p_{21}x_{2})^{2} = q(x_{1}, x_{2}). □

Es lässt sich noch mehr aus der Diskriminante holen; falls D(q) ≠ 0, so ist entweder

• D(q) > 0: da D(q) = a_{1} · a_{2} sind beide positiv oder beide negativ.

Es folgt aus q̃(y_{1}, y_{2}) = a_{1}y_{1}^{2} + a_{2}y_{2}^{2} q̃(y_{1}, y_{2}) = 0 ⟺ (y_{1}, y_{2}) = (0, 0) also q(x_{1}, x_{2}) = 0 ⟺ (x_{1}, x_{2}) = (0, 0).

Die Form heisst positiv-definit, falls a_{1} und a_{2} > 0 und negativ-definit, falls a_{1} und a_{2} < 0.

• D(q) < 0: Sei z.B. a_{1} > 0 und a_{2} < 0, a_{1} = b_{1}^{2}, a_{2} = −b_{2}^{2}.

Es folgt:

q̃(y_{1}, y_{2}) = b_{1}^{2}y_{1}^{2} − b_{2}^{2}y_{2}^{2} = (b_{1}y_{1} + b_{2}y_{2})(b_{1}y_{1} − b_{2}y_{2}) und zurück:

q(x_{1}, x_{2}) = (c_{1}x_{1} + c_{2}x_{2})(d_{1}x_{1} + d_{2}x_{2})

Wir gehen zur allgemeinen Gleichung der Kegelschnitte zurück:

f(x_{1}, x_{2}) = a_{11}x_{1}^{2} + 2a_{12}x_{1}x_{2} + a_{22}x_{2}^{2} + b_{1}x_{1} + b_{2}x_{2} + c = 0.

Durch eine geeignete Koordinatentransformation lässt sich das Glied 2a_{12}x_{1}x_{2} eliminieren. Wir dürfen also annehmen, dass a_{12} = 0, somit (mit anderen Koeffizienten b_{1}, b_{2})

f(x_{1}, x_{2}) = a_{1}x_{1}^{2} + a_{2}x_{2}^{2} + b_{1}x_{1} + b_{2}x_{2} + c = 0.

Fall (1) : D(q) ≠ 0, d.h. a_{1} · a_{2} ≠ 0. Sei

x_{1} = y_{1} − \frac{b_{1}}{2a_{1}}
x_{2} = y_{2} − \frac{b_{2}}{2a_{2}} .

Die Koordinatentransformation ist eine Translation. Es folgt (“Quadrate vervollständigen”):

f(x_{1}, x_{2}) = a_{1}(y_{1} − \frac{b_{1}}{2a_{1}} )^{2} + b_{1}(y_{1} − \frac{b_{1}}{2a_{1}} ) + a_{2}(y_{2} − \frac{b_{2}}{2a_{2}} )^{2} + b_{2}(y_{2} − \frac{b_{2}}{2a_{2}} ) + c
= a_{1}y_{1}^{2} + a_{2}y_{2}^{2} + c + \frac{b_{1}^{2}}{4a_{1}} − \frac{b_{1}^{2}}{2a_{1}} + \frac{b_{2}^{2}}{4a_{2}} − \frac{b_{2}^{2}}{2a_{2}}
f̃(y_{1}, y_{2}) = a_{1}y_{1}^{2} + a_{2}y_{2}^{2} + d, mit d = c − \frac{b_{1}^{2}}{4a_{1}} − \frac{b_{2}^{2}}{4a_{2}} .

Fall (1), 1) : Es sei d ≠ 0 und D(q) > 0. Wir schreiben die Gleichung f̃(y_{1}, y_{2}) = 0 als

− (\frac{a_{1}}{d} y_{1}^{2} + \frac{a_{2}}{d} y_{2}^{2}) = 1.

Da D(q) = a_{1} · a_{2} > 0, haben \frac{a_{1}}{d} und \frac{a_{2}}{d} das gleiche Vorzeichen.

• \frac{a_{1}}{d} und \frac{a_{2}}{d} > 0: Die Kurve besitzt keine (reelle) Punkte.

• \frac{a_{1}}{d} und \frac{a_{2}}{d} < 0. Wir setzen b_{1} = \sqrt{\frac{−d}{a_{1}}} und b_{2} = \sqrt{\frac{−d}{a_{2}}}, dann

\frac{y_{1}^{2}}{b_{1}^{2}} + \frac{y_{2}^{2}}{b_{2}^{2}} = 1

Die Kurve ist eine Ellipse mit Halbachsen b_{1} und b_{2}. Fall (1), 2) : Es sei d ≠ 0 und D(q) < 0. Nehmen wir an, dass \frac{a_{1}}{d} < 0 und \frac{a_{2}}{d} > 0. Dann gilt

\frac{y_{1}^{2}}{b_{1}^{2}} − \frac{y_{2}^{2}}{b_{2}^{2}} = 1

mit b_{1} = \sqrt{\frac{−d}{a_{1}}} und b_{2} = \sqrt{\frac{d}{a_{2}}} . Die Kurve ist eine Hyperbel mit Asymptoten

y_{2} = ±\frac{b_{2}}{b_{1}} y_{1}

Fall (1), 3) : Es sei D(q) ≠ 0 und d = 0. Die Gleichung der Kurve lautet:

a_{1}y_{1}^{2} + a_{2}y_{2}^{2} = 0.

Ist D(q) > 0, so reduziert sich die Kurve auf den Punkt O. Ist D(q) < 0, z.B. a_{1} > 0 und a_{2} < 0, so setzen wir a_{1} = b_{1}^{2}, a_{2} = −b_{2}^{2}. Es folgt

f̃(y_{1}, y_{2}) = b_{1}^{2}y_{1}^{2} − b_{2}^{2}y_{2}^{2} = (b_{1}y_{1} + b_{2}y_{2})(b_{1}y_{1} − b_{2}y_{2})

und die Kurve besteht aus einem Paar von Geraden, welche sich in 0 schneiden. Fall (2) : D(q) = 0, a_{1} ≠ 0, a_{2} = 0. Die Gleichung lautet

f(x_{1}, x_{2}) = a_{1}x_{1}^{2} + b_{1}x_{1} + b_{2}x_{2} + c = 0.

Durch eine Translation wie vorher, erreichen wir, dass b_{1} = 0. Wir müssen die Fälle b_{2} ≠ 0 und b_{2} = 0 unterscheiden: Fall b_{2} ≠ 0 : Wir setzen

\{ \begin{matrix}x_{1} = y_{1} \\ x_{2} = y_{2} − \frac{c}{b_{2}} . \end{matrix}

Es folgt

a_{1}y_{1}^{2} + b_{2}y_{2} = 0
oder  y_{2} = −\frac{a_{1}}{b_{2}} y_{1}^{2}

Die Kurve ist eine Parabel. Fall b_{2} = 0 : Es folgt a_{1}x_{1}^{2} + c = 0 oder.

x_{1}^{2} = −c/a_{1}.

Ist −c/a_{1} > 0, so besteht die Kurve aus 2 vertikalen Geraden. Ist −c/a_{1} = 0, so reduziert sich die Kurve auf die x_{2}-Achse. Ist −c/a_{1} < 0, so hat die Kurve keine (reelle) Punkte.

Fall (2), 1) : D(q) = 0 a_{1} = a_{2} = 0. Die Gleichung

f(x_{1}, x_{2}) = b_{1}x_{1} + b_{2}x_{2} + c = 0

ist linear, also nicht mehr quadratisch. Wir sprechen nicht mehr von einem Kegelschnitt.

§5. Konstruktion der Kegelschnitte

Ellipse: Die Ellipse Γ sei durch die Gleichung

\frac{x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}} = 1, a_{1} ≥ a_{2} > 0

gegeben. Sei c = \sqrt{a_{1}^{2} − a_{2}^{2}}. Die Punkte F_{1} = (c, 0), F_{2} = (−c, 0) heissen Brennpunkte der Ellipse.

Satz: (Fadenkonstruktion der Ellipse)

Γ = {P ∈ ℝ^{2}| |F_{1}P | + |F_{2}P | = 2a_{1}}.

Beweis: (Dandelin) Sei K ein Kegel und E eine Ebene, die K längs einer Ellipse schneidet. Es gibt genau zwei Kugeln S_{1} und S_{2}, die K längs eines Kreises tangential treffen und die Ebene E tangential berühren. Es seien F_{1} und F_{2} die Berührungspunkte von S_{1}, bzw. S_{2} mit E. Sei P ein Punkt auf der Ellipse.

Behauptung: |F_{1}P | + |F_{2}P | = konstant.

Beweis der Behauptung: Die Mantellinie durch P trifft S_{1}, bzw. S_{2} in einem Punkt, den wir R_{1}, bzw. R_{2} nennen. Die Strecken P F_{1} und P R_{1} sind beide Tangenten von P aus an die Kugel S_{1}. Daraus folgt

|F_{1}P | = |R_{1}P |

Analog gilt |F_{2}P | = |R_{2}P |, somit

|F_{1}P | + |F_{2}P | = |R_{1}P | + |R_{2}P | = |R_{1}R_{2}|

ist unabhängig von P. Jede Ellipse lässt sich als Schnitt E ∩ K realisieren (Übung!). Also gibt es für die gegebene Ellipse Γ Punkte F_{1} und F_{2}, so dass

Γ = {P ∈ ℝ^{2} | |F_{1}P | + |F_{2}P | = konstant}.

Eine einfache Überlegung zeigt, dass die Konstante gleich 2a_{1} sein muss und dass F_{1}, F_{2} die Brennpunkte sind. □

Bei der Hyperbel Γ

\frac{x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}} − \frac{x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}} = 1

gibt es, ganz analog, Punkte F_{1}, F_{2} so dass

Γ = {P ∈ ℝ^{2} | |P F_{1}| − |P F_{2}| = 2a_{1}}

Übung: Die Parabel lässt sich als Ort der Punkte beschreiben, welche den gleichen Abstand zu einem festen Punkt F und einer festen Gerade g haben.

Anhang: Ellipsen in Parameterdarstellung

Der Punkt P ∈ ℝ^{2} mit Koordinaten

x_{1} = r cos t x_{2} = r sin t

hat Polarkoordinaten r und t; es folgt, dass der Kreis mit Zentrum O und Radius r die Parameterdarstellung:

x_{1} = r cos t t ∈ [0, 2π[ ⟼ x_{2} = r sin t

besitzt. Allgemein, zwei Funktionen t ↦ f(t), t ↦ g(t), welche auf dem gleichen Intervall I gegeben sind, definieren eine Kurve γ in Parameterdarstellung:

x_{1} = f(t) t ∈ I ⟼ P : x_{2} = g(t)

Kann man t aus den 2 Gleichungen x_{1} = f(t), x_{2} = g(t) eliminieren, so bekommt man eine “implizite” Gleichung

f(x_{1}, x_{2}) = 0

zwischen x_{1} und x_{2}. Zum Beispiel folgt die Gleichung

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} − r^{2} = 0

aus den Gleichungen x_{1} = r cos t, x_{2} = r sin t, da cos^{2} t + sin^{2} t = 1.

Es ist nicht unbedingt zweckmässig eine Parameterdarstellung durch eine implizite Gleichung zu ersetzen.

△^{!}

Die Gleichung

\frac{x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}} = 1, a_{1} ≥ a_{2}

der Ellipse führt zwangsmässig zur Parameterdarstellung

x_{1} = a_{1} cos t x_{2} = a_{2} sin t.

Um eine geometrische Interpretation des Parameters t zu bekommen, betrachten wir die zwei konzentrischen Kreise S_{1} bzw. S_{2} mit Zentrum O und Radius a_{1}, bzw. a_{2}. Der Strahl aus O mit festem Winkel t mit der x_{1}-Achse schneidet S_{1} in P_{1} = (a_{1} cos t, a_{1} sin t) und S_{2} in P_{2} = (a_{2} cos t, a_{2} sin t). Der Punkt P = (a_{1} cos t, a_{2} sin t) auf der Ellipse ist der Schnittpunkt der vertikalen Geraden x_{1} = a_{1} cos t mit der horizontalen Geraden x_{2} = a_{2} sin t. (Figur!) Diese Interpretation vom Parameter t liefert eine einfache punktweise Konstruktion der Ellipse.

Bemerkung: Man kann die Ellipse auch rational parametrisieren: Die Gerade

x_{2} = t(x_{1} + a)

schneidet die Ellipse \frac{x_{1}^{2}}{a^{2}} + \frac{x_{2}^{2}}{b^{2}} = 1 in 2 Punkten: der Punkt (−a, 0) und der Punkt P = (x_{1}, x_{2}) mit

x_{1} = a \frac{b^{2} − a^{2}t^{2}}{b^{2} + a^{2}t^{2}} , x_{2} = b \frac{2abt}{b^{2} + a^{2}t^{2}} .

Es folgt, dass

t ↦ x_{1} = a \frac{b^{2} − a^{2}t^{2}}{b^{2} + a^{2}t^{2}} , x_{2} = b \frac{2abt}{b^{2} + a^{2}t^{2}} , t ∈ ℝ

auch eine Parameterdarstellung der Ellipse (ohne (−a, 0)) ist.

Bemerkung: In der Analysis führt man die hyperbolischen Funktionen ein

t ↦ sinh t, t ↦ cosh t.

Sie erfüllen die Identität cosh^{2} t − sinh^{2} t = 1 und liefern somit eine Parameterdarstellung der Hyperbel

\frac{x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}} − \frac{x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}} = 1

nämlich

x_{1} = a_{1} cosh t x_{2} = a_{2} sinh t.

Der Parameter t lässt sich als Fläche interpretieren (Analysis!)