Kapitel IV Projektive Geometrie

In diesem Kapitel wird eine kurze Einführung in die projektive Geometrie gegeben. Es sollen unendlich ferne Punkte mit Hilfe von homogene Koordinaten eingeführt werden und das Verhalten der Kegelschnitte im Unendlichen diskutiert werden.

Wir betrachten die Menge der Geraden in ℝ^{3}, welche durch O gehen. Eine solche Gerade wird durch einen weiteren Punkt P = (z_{1}, z_{2}, z_{3}) ≠ 0 bestimmt. Eine solche Gerade hat die Parameterdarstellung

t ↦ (z_{1}t, z_{2}t, z_{3}t).

Ihr Schnitt mit der horizontalen Ebene E : x_{3} = 1 hat die Koordinaten (\frac{z_{1}}{z_{3}} , \frac{z_{2}}{z_{3}} , 1)

falls z_{3} ≠ 0. Umgekehrt, zu jedem Punkt aus E mit Koordinaten (x_{1}, x_{2}, 1) gehört die Gerade mit Parameterdarstellung

t ↦ (x_{1}t, x_{2}t, t)

Die Zuordnung, Punkt in E ↔ Geraden durch O, ist fast ein-eindeutig: die horizontalen Geraden

t ↦ (z_{1}t, z_{2}t, 0)

sind parallel zu E. Sie schneiden E “im Unendlichen”. Sie sollen die “∞-fernen” Punkte von E darstellen. Also:

Geraden t ↦ (z_{1}t, z_{2}t, z_{3}t) mit z_{3} ≠ 0 ⇔ endliche Punkte (\frac{z_{1}}{z_{3}} , \frac{z_{2}}{z_{3}} , 1) von E

Geraden t ↦ (z_{1}t, z_{2}t, z_{3}t) mit z_{3} = 0 ⇔ unendlich ferne Punkte (z_{1}, z_{2}, 0) von E

Zwei Tripel (z_{1}, z_{2}, z_{3}) ≠ (0, 0, 0) und (z′_{1}, z′_{2}, z′_{3}) ≠ (0, 0, 0) definieren dieselbe Gerade durch O falls es λ ∈ ℝ gibt mit

z′_{1} = λz_{1}, z′_{2} = λz_{2}, z′_{3} = λz_{3}.

Also (z_{1}, z_{2}, z_{3}) und λ(z_{1}, z_{2}, z_{3}) entsprechen demselben Punkt von E.

Wir sind soweit folgende Definition zu geben: Die projektive Ebene ℙ^{2} besteht aus ℝ^{2} und aus unendlichfernen Punkten. Ein Punkt von ℙ^{2} wird durch 3 homogene Koordinaten (z_{1}, z_{2}, z_{3}) gegeben, welche nicht alle gleich 0 sein dürfen. Die Koordinaten (z_{1}, z_{2}, z_{3}) und (λz_{1}, λz_{2}, λz_{3}), λ ≠ 0 definieren denselben Punkt in ℙ^{2}. Die Punkte mit z_{3} ≠ 0 sind die endlichen Punkte; die Punkte mit z_{3} = 0 sind die unendlichen Punkte.

Die Abbildung (x_{1}, x_{2}) ↦ (x_{1}, x_{2}, 1) ist eine Einbettung von ℝ^{2} in ℙ^{2} (als Mengen). Punkte mit z_{3} ≠ 0 sind “endliche” Punkte mit inhomogenen Koordinaten (x_{1} = \frac{z_{1}}{z_{3}} , x_{2} = \frac{z_{2}}{z_{3}} ). Die unendlich fernen Punkte haben Koordinaten (z_{1}, z_{2}, 0). Also erfüllen ihre homogenen Koordinaten die Gleichung

z_{3} = 0 “unendlich ferne” Gerade.

Eine Gleichung f(z_{1}, z_{2}, z_{3}) = 0 definiert eine Kurve in ℙ^{2}, falls

f(z_{1}, z_{2}, z_{3}) = 0 ⇔ f(λz_{1}, λz_{2}, λz_{3}) = 0 ∀λ ∈ ℝ.

Sie muss “homogen” sein.

Beispiel: Die lineare Gleichung a_{1}z_{1} + a_{2}z_{2} + a_{3}z_{3} = 0, (a_{1}, a_{2},) ≠ (0, 0). Für endliche Punkte (x_{1} = \frac{z_{1}}{z_{3}} , x_{2} = \frac{z_{2}}{z_{3}} , 1) gilt

a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + a_{3} = 0.

Die endlichen Punkte liegen also auf einer Geraden in ℝ^{2} und der unendlich ferne Punkt ist der Punkt (−a_{2}, a_{1}, 0). Parallele Geraden sind gegeben durch Gleichungen

a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + a′_{3} = 0.

Sie haben alle den gleichen unendlich fernen Punkt. Allgemein, definiert jede homogene Gleichung f(z_{1}, z_{2}, z_{3}) = 0 eine Gleichung in ℝ^{2}:

f^{∗}(x_{1}, x_{2}) := f(x_{1}, x_{2}, 1).

Typische homogene Gleichungen sind algebraische Ausdrücke

∑ a_{i_{1}i_{2}i_{3}} z_{1}^{i_{1}}z_{2}^{i_{2}}z_{3}^{i_{3}} = 0

wo der Totalgrad i_{1} + i_{2} + i_{3} jedes Monoms z_{1}^{i_{1}}z_{2}^{i_{2}}z_{3}^{i_{3}} konstant ist. Umgekehrt lässt sich jede algebraische Gleichung

∑ b_{ij}x_{1}^{i}x_{2}^{j} = 0

“homogenisieren”: man ersetzt x_{1} durch z_{1}, x_{2} durch z_{2} und “füllt Löcher” mit Potenzen von z_{3}.

Beispiele:

1. Die Parabel x_{2} = x_{1}^{2}. Die homogene Gleichung ist z_{1}^{2} −z_{2}z_{3} = 0. Die Kurve hat einen (doppelten) Schnittpunkt mit der ∞-fernen Geraden: setzt man z_{3} = 0, so muss z_{1}^{2} = 0, also ist der Schnittpunkt der Punkt (0, 1, 0).

2. Die Hyperbel \frac{x_{1}^{2}}{b_{1}^{2}} − \frac{x_{2}^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 hat die homogene Gleichung

\frac{z_{1}^{2}}{b_{1}^{2}} − \frac{z_{2}^{2}}{b_{2}^{2}} − z_{3}^{2} = 0.

Sie hat zwei ∞-ferne Punkte:

P_{1} = (b_{1}, b_{2}, 0) P_{2} = (b_{1}, −b_{2}, 0).

Die Asymptoten

z_{2} = ±\frac{b_{2}}{b_{1}} z_{1}

sind Tangenten an die Hyperbel in diesen Punkten.

Bemerkung: Im Allgemeinen schneidet eine Gerade einen Kegelschnitt in zwei Punkten. Fallen beide Punkte zusammen, so ist die Gerade eine Tangente.

Insbesondere hat die Asymptote z_{2} = +\frac{b_{2}}{b_{1}} z_{1} den “doppelten” Schnittpunkt

(b_{1}, b_{2}, 0) mit der Hyperbel.

3. Die Ellipse \frac{x_{1}^{2}}{b_{1}^{2}} + \frac{x_{2}^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 hat die homogene Gleichung

\frac{z_{1}^{2}}{b_{1}^{2}} + \frac{z_{2}^{2}}{b_{2}^{2}} − z_{3}^{2} = 0.

Der Schnitt mit der ∞-fernen Gerade z_{3} = 0 ist gegeben durch

\frac{z_{1}^{2}}{b_{1}^{2}} + \frac{z_{2}^{2}}{b_{2}^{2}} = 0

Die einzige reelle Lösung ist z_{1} = 0, z_{2} = 0. Jedoch dürfen nicht alle drei homogene Koordinaten gleich Null sein. Also hat die Ellipse keine reellen unendlichen Punkte. Andererseits, wenn man komplexe Zahlen zulässt, so bekommt man die zwei komplex-konjugierten Punkte

P_{1} = (b_{1}, ib_{2}, 0) P_{2} = (b_{1}, −ib_{2}, 0).

Insbesondere gehen alle Kreise durch die Punkte (1, ± i, 0).

Dualität: Eine (projektive) Gerade ist durch eine homogene Gleichung vom Grad 1 gegeben:

a_{1}z_{1} + a_{2}z_{2} + a_{3}z_{3} = 0, (a_{1}, a_{2}, a_{3}) ≠ (0, 0, 0)

Zwei Tripel (a_{1}, a_{2}, a_{3}) und (a′_{1}, a′_{2}, a′_{3}) definieren die gleiche Gerade falls

a′_{1} = λa_{1}, a′_{2} = λa_{2}, a′_{3} = λa_{3}

für ein λ ≠ 0 in ℝ. Wir haben also eine Symmetrie zwischen Punkten und Geraden:

Punkt (a_{1}, a_{2}, a_{3}) ↦ Gerade a_{1}z_{1} + a_{2}z_{2} + a_{3}z_{3} = 0,
Gerade b_{1}z_{1} + b_{2}z_{2} + b_{3}z_{3} = 0 ↦ Punkt (b_{1}, b_{2}, b_{3}).

Diese Symmetrie wird in der projektiven Geometrie als Dualität bezeichnet.

Satz:

(1) Durch je zwei verschiedene Punkte P, Q geht genau eine Gerade g_{P,Q}.

(2) Je zwei verschiedene Geraden g, h schneiden sich in genau einem Punkt g ∩ h.

(3) Durch Dualität gehen verbindende Geraden in Schnittpunkte über und umgekehrt.

Beweis: (1) Sei P = (u_{1}, u_{2}, u_{3}) und Q = (v_{1}, v_{2}, v_{3}). Das System von 2 Gleichungen

a_{1}u_{1} + a_{2}u_{2} + a_{3}u_{3} = 0
a_{1}v_{1} + a_{2}v_{2} + a_{3}v_{3} = 0

für die Koeffizienten (a_{1}, a_{2}, a_{3}) der gesuchten Geraden hat Rang 2, da die Tripel (v_{1}, v_{2}, v_{3}) und (u_{1}, u_{2}, u_{3}) linear unabhängig sind (P ≠ Q!). Also ist die Lösungsmenge eindimensional und definiert eine Gerade. Der Beweis von (2) ist analog (Dualität!). Wir beweisen (3):

Zu P = (u_{1}, u_{2}, u_{3}) gehört die Gerade

g_{P} : u_{1}z_{1} + u_{2}z_{2} + u_{3}z_{3} = 0

und zu Q = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) die Gerade

g_{Q} : v_{1}z_{1} + v_{2}z_{2} + v_{3}z_{3} = 0.

Die Gerade durch P und Q hat Koeffizienten (a_{1}, a_{2}, a_{3}) für welche gilt

u_{1}a_{1} + u_{2}a_{2} + u_{3}a_{3} = 0
v_{1}a_{1} + v_{2}a_{2} + v_{3}u_{3} = 0

und der Schnittpunkt (z_{1}, z_{2}, z_{3}) = g_{P} ∩ g_{Q} muss die Bedingungen

u_{1}z_{1} + u_{2}z_{2} + u_{3}z_{3} = 0
v_{1}z_{1} + v_{2}z_{2} + v_{3}z_{3} = 0

erfüllen. Die Koeffizienten der Geraden durch P und Q sind also die Koordinaten des Schnittpunktes g_{P} ∩ g_{Q}. □