Kapitel VI Minkowski–Geometrie

§ 1 Die Metrik Das Skalarprodukt

(x, y) = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + x_{3}y_{3}

in ℝ^{3} führt zum Längenbegriff |x| = \sqrt{(x, x)} = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .

Zu den räumlichen Komponenten x = ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) führen wir eine zusätzliche Variable t ein, welche die Zeit darstellen wird. Der Raum

𝕄^{3} = ℝ^{3} × ℝ = {ξ = (x, t) | x ∈ ℝ^{3}, t ∈ ℝ}

heisst Minkowski–Raum. Einfachheitshalber werden wir uns auf die Minkowski– Ebene

𝕄^{2} = ℝ^{2} × ℝ

beschränken. Elemente ξ = (x, t) ∈ 𝕄^{2} haben zwei räumliche Komponenten x = ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) und eine Zeitkomponente t. Ein Element ξ ∈ 𝕄^{2} ist ein Ereignis. Sei

t → ( \begin{matrix}x_{1}(t) \\ x_{2}(t) \end{matrix} )

eine Kurve in ℝ^{2} . Die “Kurve”

t → ξ(t) = (x(t), t) ∈ 𝕄^{2}

heisst eine Weltlinie. Sie beschreibt den Fahrplan (Ort und Zeit) einer Bewegung.

Beispiel: x(t) = ( \begin{matrix}u_{1} + v_{1}t \\ u_{2} + v_{2}t \end{matrix} )

beschreibt eine geradlinige Bewegung mit Anfangspunkt (u = ( \begin{matrix}u_{1} \\ u_{2} \end{matrix} ) , 0) und konstanter Geschwindigkeit v = ( \begin{matrix}v_{1} \\ v_{2} \end{matrix} ).

Wir führen ein Skalarprodukt auf 𝕄^{2} ein:

⟨ξ, η⟩ := x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} − c^{2}tt′

für ξ = (x, t) , η = (y, t′) .

Die Zahl c ist eine Konstante, verschieden von 0 . Physikalisch ist c die Lichtgeschwindigkeit. Als Länge von ξ setzen wir

|ξ| := \sqrt{|⟨ξ, ξ⟩|} .

Für ξ = (x, 0) , ist |ξ| = |x| die übliche Länge im ℝ^{2}. Für ξ = (0, t) ist |ξ| = ct der Weg eines Lichtstrahles während der Zeit t. Elemente ξ ∈ 𝕄^{2} mit ⟨ξ, ξ⟩ > 0 heissen Raumvektoren und solche mit ⟨ξ, ξ⟩ < 0 Zeitvektoren. Die Menge

K = {ξ ∈ 𝕄^{2} | ⟨ξ, ξ⟩ = 0}

ist der Lichtkegel. Sei Z die Menge der Zeitvektoren. Ein Zeitvektor ξ = (x, t) ∈ Z heisst zukunftszeigend, falls t > 0 , und vergangenheitszeigend, falls t < 0 .

Wir setzen Z_{+} = {ξ ∈ Z | t > 0} und Z_{−} = {ξ ∈ Z | t < 0}.

Seien ξ = ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ t \end{matrix} ) und η = ( \begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \\ t′ \end{matrix} ) Ereignisse und sei

L = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & −c^{2} \end{matrix} ) .

Das Skalarprodukt lässt sich als

⟨ξ, η⟩ = ξ^{t}Lη

darstellen, da Lη = ( \begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \\ −c^{2}t′ \end{matrix} ). Die orthogonale Gruppe O(2, 1) von 𝕄^{2} ist die

Menge der (3 × 3)–invertierbaren Matrizen T , welche das Skalarprodukt ⟨ , ⟩ invariant lassen:

O(2, 1) := {T ∈ GL(3) | ⟨T ξ, T η⟩ = ⟨ξ, η⟩} ,

[dabei bezeichnet GL(3) die Menge der (3 × 3)-Matrizen, welche invertierbar sind.]

Die Menge O(2, 1) ist eine Gruppe für die Matrixmultiplikation.

Satz: Es gilt T ∈ O(2, 1) ⇔ T^{t}LT = L. Beweis: Wir haben ⟨T ξ, T η⟩ = (T ξ)^{t}LT η = ξ^{t}T^{t}LT η. Aus

ξ^{t}T^{t}LT η = ξ^{t}Lη

für alle ξ, η folgt die Behauptung. □ Aus T^{t}LT = L folgt det(T)^{2}· det L = det L. Da det L = −c^{2} ≠ 0 , gilt

det T = ±1

für T ∈ O(2, 1) . Wir definieren die spezielle orthogonale Gruppe in 𝕄^{2} als SO(2, 1) := {T ∈ O(2, 1) | det T = 1} .

Übung: Sei K der Lichtkegel und sei T ∈ GL(3) . Es gilt T ∈ SO(2, 1) ⟺ T K ⊂ K und det T = 1 .

Beispiele: 1.) Die Matrix

R(φ) = ( \begin{matrix}cos φ & − sin φ & 0 \\ sin φ & cos φ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

liegt in SO(2, 1) ; R(φ) ist eine räumliche Drehung. Die Zeitvariable wird nicht geändert.

2.) Sei

H(α) = ( \begin{matrix}cosh α & 0 & −c sinh α \\ 0 & 1 & 0 \\ −\frac{1}{c} sinh α & 0 & cosh α \end{matrix} ) .

Die Matrix H(α) liegt auch in SO(2, 1) (Übung!). Sie heisst ein “Lorentz–Boost”. Sie mischt die erste räumliche Variable und die Zeitvariable. Die Menge

SO^{+}(2, 1) := {T ∈ SO(2, 1) | T Z_{+} ⊂ Z_{+}}

ist eine Untergruppe von SO(2, 1) . Man kann die Bedingung

T Z_{+} ⊂ Z_{+}

als Erhaltung der Kausalität interpretieren.

Für T = ( \begin{matrix}t_{11} t_{12} t_{13} \\ t_{21} t_{22} t_{23} \\ t_{31} t_{32} t_{33} \end{matrix} ), sei γ(T) := t_{33} .

Satz: Sei T ∈ SO(2, 1) . Es gilt

T ∈ SO^{+}(2, 1) ⟺ γ(T) > 0 .

Zum Beweis brauchen wir das Lemma: Sei ξ = ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ t \end{matrix} ) ∈ Z_{+} fest und η = ( \begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \\ t′ \end{matrix} ) . Dann

η ∈ Z_{+} ⟺ ⟨ξ, η⟩ < 0 , η ∈ Z_{−} ⟺ ⟨ξ, η⟩ > 0 .

Beweis des Lemmas. Wir haben

⟨ξ, η⟩ = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} − c^{2}tt′ .

Da ξ, η ∈ Z, gilt

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} < c^{2}t^{2} und y_{1}^{2} + y_{2}^{2} < c^{2}t′^{2} .

Mit Hilfe der Cauchy–Schwarz–Ungleichung

(x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2})^{2} ≤ (x_{1}^{2} + x_{2}^{2})(y_{2}^{2} + y_{2}^{2})

folgt

(x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2})^{2} < c^{4}(tt′)^{2} .

Also aus ξ ∈ Z_{+} und η ∈ Z_{+} folgt

|x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2}| < c^{2}tt′ .

Insbesondere folgt x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} < c^{2}tt′ und ⟨ξ, η⟩ < 0 . Falls ξ ∈ Z_{+} und η ∈ Z_{−}, so gilt t > 0 und t′ < 0 , also

x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} > c^{2}tt′ und ⟨ξ, η⟩ > 0 , und umgekehrt. □

Beweis des Satzes. Sei zuerst γ(T) > 0 ; wir zeigen, dass T ∈ SO^{+}(2, 1) : Die Bedingung γ(T) > 0 lässt sich als

T ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) ∈ Z_{+}

interpretieren. Sei ξ = (x, t) ∈ Z_{+} . Es folgt aus dem Lemma, dass

⟨T ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , T ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ t \end{matrix} )⟩ = ⟨( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ t \end{matrix} )⟩ = −c^{2}t < 0 ,

also ist T ξ ∈ Z_{+} . Es folgt also aus γ(T) > 0 , dass T Z_{+} ⊂ Z_{+} und T ∈ SO^{+}(2, 1) . Umgekehrt, sei T ∈ SO^{+}(2, 1) , d.h. T ∈ SO(2, 1) und T Z_{+} ⊂ Z_{+} . Wir behaupten, dass γ(T) > 0 . Aus γ(T) < 0 folgt (wie oben), dass T Z_{+} ⊂ Z_{−}, also

T ∉ SO^{+}(2, 1) . Aus γ(T) = 0 folgt T ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) ∉ Z_{+} , also auch T ∉ SO^{+}(2, 1) . □

Beispiele: R(φ) , H(α) ∈ SO^{+}(2, 1) .

Satz: Sei T ∈ SO^{+}(2, 1) . Es gibt φ_{1}, φ_{2} und α so, dass

T = R(φ_{1})H(α)R(φ_{2}) .

Beweis: Sei

T = ( \begin{matrix}t_{11} t_{12} t_{13} \\ t_{21} t_{22} t_{23} \\ t_{31} t_{32} t_{33} \end{matrix} ) ∈ SO^{+}(2, 1) .

1. Fall: Es sei t_{13} = t_{23} = 0 . Aus T^{t}LT = L folgt −c^{2}t_{33}^{2} = −c^{2} , also t_{33}^{2} = 1 . Da γ(T) > 0 , ist t_{33} = 1 und es folgt aus T^{t}LT = L noch dass t_{31} = t_{32} = 0, also

T = ( \begin{matrix}t_{11} & t_{12} & 0 \\ t_{21} & t_{22} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) .

Die (2 × 2)–Matrix T′ = ( \begin{matrix}t_{11} t_{12} \\ t_{21} t_{22} \end{matrix} ) liegt in SO(2) , ist also von der Form

T′ = ( \begin{matrix}cos φ_{1} & − sin φ_{1} \\ sin φ_{1} & cos φ_{1} \end{matrix} ) ,

und die Behauptung folgt mit α = 0 , φ_{2} = 0 .

2. Fall: Es sei (t_{13} , t_{23}) ≠ (0, 0) . Der Vektor \binom{t_{13}}{t_{23}} ist die Projektion von T ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) auf die (x_{1}, x_{2})–Ebene. Da

t_{13}^{2} + t_{23}^{2} − c^{2}t_{33}^{2} = −c^{2} ,

hat \binom{t_{13}}{t_{23}} die Länge c\sqrt{γ(T) − 1} =: β(T). Durch eine Drehung in der (x_{1}, x_{2})– Ebene um einen Winkel, den wir −φ_{1} nennen, lässt sich \binom{t_{13}}{t_{23}} in einen Vektor \binom{β(T)}{0} überführen. Sei

T′ := R(−φ_{1}) ∘ T .

Es gilt dann T′ ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}β(T) \\ 0 \\ γ(T) \end{matrix} ) und β(T)^{2} − c^{2}γ(T)^{2} = −c^{2} .

Wir wählen α ∈ ℝ so, dass

cosh α = γ(T) sinh α = −\frac{β(T)}{c} ,

und setzen

T′′ := H(−α) ∘ T′ = H(−α) ∘ R(−φ_{1}) ∘ T .

Dann ist

T′′ ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}γ(T) & 0 & −β(T) \\ 0 & 1 & 0 \\ −\frac{β(T)}{c^{2}} & 0 & γ(T) \end{matrix} ) ( \begin{matrix}β(T) \\ 0 \\ γ(T) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) .

Nach Fall 1) ist T′′ eine räumliche Drehung. Wir setzen T′′ = R(φ_{2}) , und es gilt T = R(φ_{1})H(α)R(φ_{2}) – wie behauptet. □

§ 2 Relativitätstheorie

Es folgt aus dem letzten Satz, dass die Boosts wichtige Elemente in SO^{+}(2, 1) sind. Sie lassen sich auf eine andere Art parametrisieren:

Sei

v := c tanh α = c \frac{sinh α}{cosh α} .

Aus cosh^{2} α − sinh^{2} α = 1 folgt

cosh α = \frac{1}{\sqrt{1 − tanh^{2} α}} , sinh α = \frac{v/c}{\sqrt{1 − tanh^{2} α}} .

Also

cosh α = \frac{1}{\sqrt{1 − v^{2}/c^{2}}} , sinh α = \frac{v/c}{\sqrt{1 − v^{2}/c^{2}}} ,

so dass

H(α) = ( \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{1−v^{2}/c^{2}}} & 0 & \frac{−v}{\sqrt{1−v^{2}/c^{2}}} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{−v/c^{2}}{\sqrt{1−v^{2}/c^{2}}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{1−v^{2}/c^{2}}} \end{matrix} ) .

Die zweite Raum–Richtung bleibt fest. Lassen wir diese Koordinate weg, so erhalten

wir eine Transformation T von 𝕄^{1} = \{\binom{x}{t} | x ∈ ℝ , t ∈ ℝ\} ,

T = ( \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{1−v^{2}/c^{2}}} & \frac{−v}{\sqrt{1−v^{2}/c^{2}}} \\ \frac{−v/c^{2}}{\sqrt{1−v^{2}/c^{2}}} & \frac{1}{\sqrt{1−v^{2}/c^{2}}} \end{matrix} ) , (x̃ ; t̃) = T \binom{x}{t}.

Es gilt also

\begin{aligned}x̃ & = & \frac{x}{\sqrt{1−v^{2}/c^{2}}} − \frac{vt}{\sqrt{1−v^{2}/c^{2}}} , \\ t̃ & = & \frac{−(v/c^{2})x}{\sqrt{1−v^{2}/c^{2}}} + \frac{t}{\sqrt{1−v^{2}/c^{2}}} . \end{aligned}

Diese Transformation heisst (homogene) Lorentz–Transformation. Eine inhomogene Lorentz–Transformation hat die Form

\begin{aligned}x̃ & = & \frac{x}{\sqrt{1−v^{2}/c^{2}}} − \frac{vt}{\sqrt{1−v^{2}/c^{2}}} + x_{0} \\ t̃ & = & \frac{−(v/c^{2})x}{\sqrt{1−v^{2}/c^{2}}} + \frac{t}{\sqrt{1−v^{2}/c^{2}}} + t_{0}. \end{aligned}

Wir wollen diese Lorentz-Transformationen als Koordinatentransformationen interpretieren:

Annahme: \binom{x}{t} seien die Weltkoordinaten eines Ereignisses E bezüglich eines

Beobachters O und (x̃ ; t̃) seien die Weltkoordinaten von E bezüglich Õ.

Behauptung: Õ bewegt sich bezüglich O mit der Geschwindigkeit v.

Beweis: Da x̃ = 0 (für Õ) folgt

0 = \frac{x}{\sqrt{1 − v^{2}/c^{2}}} − \frac{vt}{\sqrt{1 − v^{2}/c^{2}}} + x_{0} ,

also gilt für die Koordinate x von Õ (bezüglich. O)

x = vt + Konstante

□

Experiment:

Sei λ̃ ein Lineal der Länge 1 im System (x̃, t̃) . Es bewegt sich also mit der Geschwindigkeit v bezüglich des Systems (x, t) . Seine Länge l zur Zeit t = 0 im System (x, t) ist gegeben durch

1 = x̃ = \frac{l}{\sqrt{1 − v^{2}/c^{2}}} .

Also l = \sqrt{1 − v^{2}/c^{2}} < 1 .

Umgekehrt, sei λ ein Lineal der Länge x = 1 bezüglich (x, t) . Seine Länge l̃ bezüglich (x̃, t̃) zur Zeit t̃= 0 ist

l̃ = \frac{x − vt}{\sqrt{1 − v^{2}/c^{2}}} = \frac{1 − vt}{\sqrt{1 − v^{2}/c^{2}}} .

Da

0 = t̃ = \frac{−(v/c^{2})x + t}{\sqrt{1 − v^{2}/c^{2}}} ,

folgt t = v/c^{2} und l̃= \frac{1−v^{2}/c^{2}}{\sqrt{1−v^{2}/c^{2}}} = \sqrt{1 − v^{2}/c^{2}} .

Beide Längen sind gleich. Diese Tatsache ist Teil des “Relativitätsprinzips”.

Beispiel: (Einstein–Zug)

Der Bahnhof (System (x, t) ) habe die Länge 100 m. Der Zug (System (x̃, t̃)) habe die Länge 200 m und bewegt sich mit einer Geschwindigkeit v = \frac{\sqrt{3}}{2} c. Die Länge des Zuges ist für den Bahnhofvorstand

l_{1} = \sqrt{1 − \frac{v^{2}}{c^{2}}} ·200m = \frac{1}{2}·200m = 100 m

und der Bahnhof hat die richtige Länge! Die Länge des Bahnhofs ist für den Zugführer

l̃_{2} = \frac{1}{2}·100m = 50 m ,

ist also viel zu kurz!

Die Längen in Richtung der Bewegung werden gekürzt. Entsprechend wird die Zeit dilatiert: ein Zeitabstand Δt im System (x, t) an der Stelle x = 0 wird als

Δt̃ = \frac{−(v/c^{2})·x + Δt}{\sqrt{1 − v^{2}/c^{2}}} = \frac{Δt}{\sqrt{1 − v^{2}/c^{2}}} > Δt

gemessen.

Für c → ∞ reduzieren sich die Lorentz-Transformationsformeln

\begin{aligned}x̃ & = & \frac{x−vt}{\sqrt{1−v^{2}/c^{2}}} (+x_{0}) \\ t̃ & = & \frac{(−v/c^{2})x+t}{\sqrt{1−v^{2}/c^{2}}}(+t_{0}) \end{aligned}

auf die Galilei–Transformationen:

\begin{matrix}x̃ = x − vt & (+x_{0}) \\ t̃= t & (+t_{0}) \end{matrix}

§ 3 Addition der Geschwindigkeiten

Sei  x̃ = w̃t̃

eine Bewegung im (x̃, t̃)–System, mit konstanter Geschwindigkeit w̃. Im Galilei– System haben wir

x − vt = x̃ = w̃t̃= w̃t .
Also  x = (v + w̃)t ,

und die Bewegung hat die Geschwindigkeit

w = v + w̃

im System (x, t) (“Addition der Geschwindigkeiten”). Es sieht anders aus in 𝕄^{2} :

Aus  x̃ = w̃ t̃
folgt  \frac{x − vt}{\sqrt{1 − v^{2}/c^{2}}} = w̃\frac{t − (v/c^{2})x}{\sqrt{1 − v^{2}/c^{2}}}

oder x (1 + \frac{w̃v}{c^{2}}) = vt + w̃t,

x = \frac{v + w̃}{1 + w̃v/c^{2}} t ,

Also ist die relativistische Formel für die Addition der Geschwindigkeiten:

w = \frac{v + w̃}{1 + vw̃/c^{2}} .

Übung: Aus 0 < v < c und 0 < w̃ < c folgt

0 < \frac{v + w̃}{1 + vw̃/c^{2}} < c .

Beweis: Extremalaufgabe! Benütze Methoden aus der Analysis.