Bitte wählen Sie eine der folgenden Aufgaben:

Aufgabe 1: Gegeben sind die Punkte A(-1/0), B(0/0), C(1/1) und D(2/1). Die Strecken AB und CD werden durch ein Kurvenstück verbunden, welches ein Teil des Grafen einer Polynomfunktion dritten Grades ist. Die Übergänge bei B und C sollen "glatt" sein, d.h. keine Ecken aufweisen. Skizzieren Sie das Kurvenstück. Wie steil ist das Kurvenstück an der steilsten Stelle?

Aufgabe 2: Gegeben sind die Punkte 0(0/0), A(3/0), B(3/3)und C(0/3) sowie die quadratischen Funktionen f und g mit f(x) = ax² und g(x) = bx². Wie sind a und b zu wählen, damit die Grafen von f und g das Quadrat OABC in drei flächengleiche Teile zerlegen?

Aufgabe 3: Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = e^x + e^-x. f wird ersetzt durch eine quadratische Funktion g, welche an der Stelle x = 0 sowohl im Funktionswert als auch in den Werten der ersten beiden Ableitungen mit f übereinstimmt. Gesucht ist die Gleichung für g. Zeichnen Sie f und g für -2.1<x<2.1 . Berechnen Sie die Differenz der Funktionswerte von f und g an den Stellen x=0.5 , x=1 und x=2.

Aufgabe 4: Der Graf der Funktion f mit begrenzt mit der x-Achse ein endliches Flächenstück, welches um die x-Achse gedreht wird. Dem so entstandenen Rotationskörper wird der kleinste gerade Kreiszylinder mit gleicher Symmetrieachse umbeschrieben. Berechnen Sie das Verhältnis der beiden Volumina.

Aufgabe 5: Ein zylindrischer Becher mit Radius 2 cm enthält Wasser. Bei Rotation um seine Achse steigt das Wasser am Rand 8 cm hoch und senkt sich im Innern bis auf den Boden ab. Ein Querschnitt durch die Achse ergibt eine quadratische Funktion f als Flüssigkeitsbegrenzung. Wie hoch steht das Wasser im Becher, wenn dieser in Ruhe ist?

Aufgabe 6: Die quadratische Funktion y=x² und die Gerade y=4 begrenzen ein Flächenstück, welches durch eine Gerade h mit h(x)=c in zwei flächengleiche Teile zerlegt wird. Berechnen Sie c.

Aufgabe 7: Gesucht sind die Gleichungen aller Geraden durch den Punkt O(0/0), welche den Grafen der Funktion f mit f(x)=-x³+2x rechtwinklig schneiden.

Aufgabe 8: Der Graf der Funktion f: y=a e^bx berührt die Gerade g: y=mx im Punkt Q(2/1). Berechnen Sie a, b und m.

Aufgabe 9: Die Parabel f mit y=0.5x² ist nach unten zu verschieben, bis sie den Kreis um O(0/0) mit Radius 2 im IV. Quadranten berührt. Berechnen Sie die Koordinaten des Berührungspunktes P sowie die Gleichung der verschobenen Parabel.

Aufgabe 10: Gegeben ist die Funktionenschar f_r mit f_r(x) =, r ein reeller Parameter. Gesucht ist die Gleichung der Kurve, auf welcher alle Wendepunkte von f_r liegen.

Aufgabe 11: Die Kurve f mit f(x)=ax²+c schneidet die Kurve g mit g(x)=e^x-1 im Punkt P(1/y) rechtwinklig. Berechnen Sie a und c. Skizzieren Sie die Situation. f und g begrenzen mit der y-Achse ein Bogendreieck, dessen Winkelsumme gesucht ist.

Aufgabe 12: Gegeben ist die Funktionenschar f_a mit f_a(x)=x²-ax , a ein reeller Parameter.
Gesucht ist die Gleichung der Kurve, auf welcher alle Extremalpunkte von f_a liegen.