Potenzreihen

Analysis I,  D-MATV/D-MATL 
2005/2006  
Giovanni Felder, ETH

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Series[f[x],{x,a,n}] entwickelt die Funktion f in einer Potenzreihe mit Mittelpunkt a und gibt die ersten n+1 Terme explizit an.

Clear[x,y,X,Y];

Series[Log[1+x],{x,0,12}]

Series[Sin[x],{x,Pi/4,12}]

Series[Tan[x],{x,0,12}]

Gauss-Fehlerfunktion (error function) (2/(Sqrt[π]))((∫_0)^x)exp(-(t^2))dt

Series[Erf[x],{x,0,10}]

Die Loesung der Differenzialgleichung y"+x^2y=0 mit Anfangsbedingungen y(0)=0, y'(0)=1kann als Potenzreihe dargestellt werden:

m=20;
f[x_]=x+Sum[(-1)^n x^(4n+1)/Product[4j(4j+1),{j,1,n}],{n,1,m}]

Plot[f[x],{x,0,10},PlotRange->{-1,1.3}]

Vergleich mit der numerischen Loesung

Y=y/.DSolve[{y''[x]+x^2y[x]==0,y[0]==0,y'[0]==1},y,x][[1]]
Plot[Y[x],{x,0,10}]

Potenzreihe (blau)  und numerische Loesung (rot) auf demselben Graph:

m=20;
f[x_]=x+Sum[(-1)^n x^(4n+1)/Product[4j(4j+1),{j,1,n}],{n,1,m}];
Plot[{Y[x],f[x]},{x,-1,10},PlotRange->{-2,2},PlotStyle->{Red,Blue}]