Rotationskörper

Analysis I,  D-MATV/D-MATL 
HS 2008  
Giovanni Felder, ETH

Ein Rotationskörper entsteht durch Drehung um einer Achse der Fläche zwischen dem Graph z=f(x) einer positiven Funktion f:[a,b]->(SubPlus[R]) und der x-Achse. Hier nehmen wir die x-Achse als Drehachse. Dieses Notebook rechnet Volumen, Oberflächeninhalt, Schwerpunkt und Trägheitsmoment bezüglich der Symmetrieachse eines Rotationskörper bei konstanter Dichte.
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Allgemeine Formeln:

Clear[f,a,b];
Print["Volumen = ",π (∫_a^b)((f[x])^2)\[DifferentialD]x]
Print["x-Koordinate des Schwerpunkts = ",((π (∫_a^b)x ((f[x])^2)\[DifferentialD]x)/V)]
Print["Oberflächeninhalt = ",F=2 π (∫_a^b)f[x] (Sqrt[1+((f'[x])^2)])\[DifferentialD]x]
Print["Trägheitsmoment bezüglich des x-Achse = ",(1/2) ρ π (∫_a^b)((f[x])^4)\[DifferentialD]x]

Ein Beispiel:

f[x_]=(x^2) (Sqrt[1-x]) (E^x)
a=0;b=1;

Plot[f[x],{x,a,b}] ParametricPlot3D[{t,f[t] Cos[s],f[t] Sin[s]},{t,a,b},{s,0,2 π}]

V=π NIntegrate[((f[x])^2),{x,a,b}];
Print["Volumen = ",V]
Print["x-Koordinate des Schwerpunkts = ",((π NIntegrate[x ((f[x])^2),{x,a,b}])/V)]
Print["Oberflächeninhalt = ",F=2 π NIntegrate[f[x] (Sqrt[1+((f'[x])^2)]),{x,a,b}]]
Print["Trägheitsmoment bezüglich des x-Achse = ",(1/2) ρ π NIntegrate[((f[x])^4),{x,a,b}]]