Schwingungen, Resonanz

Analysis II,  D-MATV/D-MATL 
FS 2009  
Giovanni Felder, ETH

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Mit DSolve kann man gewisse Differenzialgleichungen loesen. DSolve[Differenzialgleichung,y,x] gibt die allgemeine Loesung einer Differenzialgleichung fuer eine Funktion y[x]. DSolve[{Differenzialgleichung,Anfangsbedingungen},y,x] gibt die Loesungen welche die (Komma getrennten) Anfangsbedingungen erfuellen. In Differenzialgleichungen und Anfangsbedingungen muss == statt dem Zuweisungsbefehl = verwendet werden.

Harmonischer Oszillator mit Dämpfung. Verhalten der Lösung zur Anfangsbedingung x(0)=1,x'(0)=0 für verschiedene Werte der Dämpfungskonstante λ.

ω=1;
Manipulate[
X=x/.DSolve[{x''[t]+ 2λ x'[t]+ω^2x[t]==0,
x[0]==1,x'[0]==0},x,t][[1]];
Plot[X[t],{t,0,15},PlotRange->{-1,1}],{λ,0,4}]

Resonanzkurve: Abhängigkeit der Amplitude der Schwingung von der Frequenz des Störterms

ω=1;
λ=0.05;
ϵ=0.1;
A[σ_]:=ϵ/Sqrt[(ω^2-σ^2)^2+4λ^2σ^2];
Plot[A[σ],{σ,0,5},PlotRange->{0,1}]

Kleine periodische Störung eines schwach gedämpften Oszillators. Rot: Störterm; blau: Lösung. Nebst der Amplitude beachte man die Phasenverschiebung in Abhängigkeit der Störfrequenz σ.

Manipulate[
ω=1;
λ=0.05;
ϵ=0.1;
X=x/.DSolve[{x''[t]+ 2λ x'[t]+ω^2x[t]==ϵ Cos[σ t],x[0]==0,x'[0]==0},x,t][[1]];Plot[{X[t],ϵCos[σ t]},{t,0,100},PlotStyle->{Blue,Red},PlotRange->{-1,1}]
,{σ,0.8,1.2}]