Analysis Visualisierungen
Technische Voraussetzungen
Java Applets
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Firefox Browser ab Version 2 mit Java-Plugin
(JRE 1.5 oder höher)
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Cookies akzeptieren (mind. die Session-Cookies)
-
JavaScript aktiviert
- Für 3D-Visualisierungen zusätzlich:
Java 3D installiert.
Notebooks für den Mathematica Player (.nbp)
Der kostenlose Mathematica Player ermöglicht Studierenden das
interaktive Arbeiten mit .nbp Dateien. Er ist für Windows, Mac
und Linux erhältlich.
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Das Player-Installationsfile können Sie
hier downloaden. (Die Angabe der
persönlichen Daten ist optional!)
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Danach führen Sie das Installationsfile auf dem Rechner aus.
Auf Windows und Mac ist die Prozedur standardmässig. Für
Linux-User gibt es
hier eine Anleitung.
- Bei Fragen oder Problemen wenden Sie sich bitte an
uns.
Notebooks für Mathematica (.nb)
Für gewisse Notebooks (z.B. Anwendungsbeispiele von Mathematica
oder wenn Sie den Sourcecode der Visualisierungen studieren
möchten) benötigen Sie Mathematica selbst:
Die Wahl der Kategorien orientiert sich weitgehend an der Gliederung im
Skript von Prof. Urs Stammbach. Bitte beachten Sie, dass diese Sammlung
laufend aktualisiert und erweitert wird.
Die Sammlung enthält zurzeit drei Typen von Materialien:
- Java-Applets
-
Mathematica-Visualisierungen für den kostenlosen Player
-
Standard Mathematica Notebooks
Die technischen Anforderungen zur Betrachtung dieser Materialien finden
Sie in der Box rechts. Im Fall von Java-Applets führt ein untenstehender
Link jeweils auf eine Vorschauseite, welche zusätzlich zum
"Copy/Pasten" den Einfügecode enthält. Zu den Mathematica
Player Notebooks bieten wir neben den mit dem Player lauffähigen .nbp
Files auch die Sourcefiles (.nb) an.
I. Funktionen
Folgen, Konvergenz
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Folgenplotter für die reelle Gerade, welcher einen wählbaren
Bereich einer Folge anzeigt.
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applet
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Reihenplotter, welcher einen einstellbaren Ausschnitt einer
definierbaren Reihe grafisch darstellt.
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applet
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Funktionsbegriff
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Funktion als Transformation : Eine etwas andere Darstellung
von Funktionen, welche sich am Begriff der Transformation
anlehnt.
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applet
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Verknüpfung zweier Funktionen : Stellt untereinander zwei
Funktionen und ihre Verknüpfung grafisch dar.
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applet
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Punktweise Operationen und Verknüpfung : Stellt getrennt
zwei definierbare Operanden-Funktionen und das Ergebnis
der Operation dar. Wählbare Operationen sind: Punktweise
Addition, Subtraktion, Produkt, Division und Verknüpfung
von Funktionen.
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applet
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Nullstellen von Funktionen : Findet die Nullstellen einer
vom Benutzer definierbaren Funktion und stellt diese
grafisch im Plot dar.
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applet
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Absolutwert einer Funktion : Stellt die Funktion der
Absolutwerte einer Funktion und wahlweise die
Ausgangsfunktion grafisch dar.
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applet
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Folgen von Funktionen : Stellt schrittweise die
Folgenglieder einer Funktionenfolge dar.
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applet
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Fixpunkt einer Funktion : Stellt schrittweise eine
Fixpunkt-Iteration mit einstellbarem Anfangswert für eine
Funktion mit Fixpunkt dar.
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applet
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Parametrisierung des Funktionsgraphen : Stellt die
Koordinatenfunktionen und die Kurve selbst einer
parametrisierten Kurve im R^2 grafisch dar. Einstellbar
sind u.a. die Koordinatenfunktionen und der
Definitionsbereich des Parameters.
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applet
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Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit
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Delta-Epsilon Definition : Stellt die Anwendung des
Epsilon-Delta-Kriteriums für eine definierbare stetige
Funktion und einen frei wählbaren Punkt grafisch und
numerisch dar. Es wird farblich angezeigt, ob das Kriterium
bei den aktuellen Parametern gültig ist (grün) oder nicht
(rot).
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applet
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Asymptoten : Dieses Notebook zeigt drei
Beispielsfunktionen f(x) und ihre Asymptoten für x ->
unendlich.
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.nb
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Inverse Funktion
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Funktion und ihre Inverse : Stellt für eine definierbare
Funktion auf einem positiven Intervall die Inverse grafisch
dar.
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applet
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Diverse Funktionsplotter
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Funktion mit Definitionsbereich : Stellt eine Funktion
grafisch dar, wobei der Definitionsbereich mit der Maus
oder numerisch verändert werden kann.
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applet
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Funktion mit einem Parameter : Stellt eine Funktion mit
einem Parameter grafisch dar, wobei der Parameter
sukzessive verändert werden kann.
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applet
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Mehrere Funktionen : Darstellung mehrerer Funktionen im
selben Plot.
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applet
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Hyperbolische Funktionen : Grafische Darstellung von
wahlweise sinh, cosh, tanh, coth und ihren asymptotischen
Funktionen. Ebenfalls wahlweise kann die jeweilige
Umkehrfunktion (Areafunktion) mitangezeigt werden.
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applet
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II. Differentialrechnung von Funktionen einer Variablen
Begriff des Differentialquotienten
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Funktion und deren Ableitung : Darstellung einer
definierbaren Funktion und ihrer Ableitung in separaten
Plots.
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applet
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Ableitung als Tangentensteigung : Anschauliche Darstellung
der 1. und wahlweise auch der 2. Ableitung einer Funktion
als Tangentensteigung.
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applet
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Vergleich der Tangentensteigung zweier Funktionen :
Grafische Darstellung zweier definierbarer Funktionen in
einem Plot und Ausgabe der Tangentensteigung beider
Funktionen an einem interaktiv manipulierbaren Punkt.
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applet
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Übergang von Sekanten zu Tangente : Interaktive
Manipulation von Tangente und Sekante in Punkten einer
definierbaren Funktion.
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applet
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Mathematica - Berechnung der Ableitung einer Funktion mit
dem Befehl DSolve und Plotten der Lösung.
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.nb
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Mittelwertsatz der Differentialrechnung
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Darstellung des Mittelwertsatzes : Interaktive Darstellung
des Inhalts des MWS der Differentialrechnung. Sobald die
Existenzaussage eintritt, wird die repräsentierende
Tangente grün gefärbt.
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applet
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Exponential- und Logarithmusfunktion
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Vergleich von Exponential- und Potenzfunktion : Grafische
Darstellung der Exponentialfunktion und der Potenzfunktion
x^n für Schritte in n zur Illustration des
Wachstumsverhaltens.
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applet
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Logarithmusfunktion : Grafische Darstellung der
Logarithmusfunktion zu beliebig definierbarer Basis b >
0. Zum Vergleich wird die Funktion log_e miteingeblendet
und es können wahlweise die jeweiligen Umkehrfunktionen
mitangezeigt werden.
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applet
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Zweite und höhere Ableitungen
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Darstellung von Beispielfunktionen und ihren ersten und
zweiten Ableitungen.
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player (.nbp)
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Ebene Kurven
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Parametrisierte Kurve in der Ebene : Plotter, welcher die
Darstellung einer parametrisierten Kurve in R^2 erlaubt,
wobei Koordinatenfunktionen und das Parameterintervall frei
definierbar sind.
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applet
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Kurve mit separatem Plot der Komponenten : Darstellung
einer analog definierbaren parametrisierten Kurve im R^2,
wobei zusätzlich die beiden Parameterfunktionen in einem
zweiten Plot dargestellt werden.
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applet
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Zykloide eines Radpunktes : Der Abstand des Punktes von der
Rabnabe kann eingestellt werden, wobei auch der Effekt
eines Punktes mit einem Abstand grösser als der Radradius
demonstriert werden kann. Die Zykloide wird anschaulich
während des Rollvorgangs gezeichnet.
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applet
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- Zykloide als Mathematica-Animation.
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.nb
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Dieses Notebook berechnet die Krümmung in jedem Punkt
einer in Parameterdarstellung gegebenen ebenen Kurve. Die
Kurve und ihre Evolute werden graphisch dargestellt. Der
Krümmungskreis wird durch eine Animation gezeigt.
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.nb
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Darstellung einer Klotoide : Wenn man mit konstanter
Geschwindigkeit faehrt und das Lenkrad mit konstanter
Geschwindigkeit dreht, fährt man auf einer Klotoidenbahn.
Auf einer Klotoide ist die Kruemmung eine lineare Funktion
der Bogenlaenge.
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.nb
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Visualisierung und Animation der logarithmischen Spirale.
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.nb
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Euler-Methode
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In diesem Notebook wird die Euler-Methode zur Loesung des
Anfangswertproblems einer Differenzialgleichung erster
Ordnung angewendet.
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.nb
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III. Integralrechnung von Funktionen einer Variablen
Das bestimmte Integral
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Integrator : Grafische Darstellung und numerische
Berechnung des bestimmten Integrals für eine definierbare
Funktion und einstellbare Integrationsgrenzen.
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applet
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Unter- und Obersumme : Wahlweise Darstellung und numerische
Berechnung der Unter- bzw. Obersumme einer definierbaren
Funktion. Die Anzahl n der Treppen kann frei eingestellt
werden.
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applet
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Approximation durch Treppenfunktion : Grafische Darstellung
und numerische Berechung der Mittelwert-Approximation des
bestimmten Integrals einer frei definierbaren Funktion. Die
Schritte n sind wieder einstellbar.
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applet
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Approximation durch Trapeze : Wie oben jedoch mit Trapezen.
Einblendung der approximierenden Summe und des Integrals in
jedem (einstellbaren) Schritt.
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applet
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IV. Funktionen von mehreren Variablen, Differentialrechnung
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Niveaulinien verschiedener Funktionen : Simultane Anzeige
von Funktion und Niveaulinien als Oberflächen- und
Konturplot.
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player (.nbp)
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Partielle Ableitungen als Tangentensteigungen und
Grenzwerte von Sekantensteigungen : Einfache
Visualisierung; Sekantenpunkte können verändert werden.
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player (.nbp)
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Satz von Schwarz (Satz von Clairaut) : Manipulierbare
Darstellung der Aussage des Satzes von Schwarz anhand
mehrerer Beispielsfunktionen.
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player (.nbp)
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Gegenbeispiel zum Satz von Schwarz (Clairaut) und Caveat :
Zwei manipulierbare Beispiele von Funktionen, welche den
Satz von Schwarz nicht erfüllen. Demonstration, dass
visueller Eindruck und die Ausgabe eines Computer Algebra
Systems hinterfragt werden müssen.
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player (.nbp)
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- Graphische Darstellung von Funktionen von zwei Variablen und Berechnung partieller Ableitungen.
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.nb
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V. Funktionen von mehreren Variablen, Integralrechnung
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- Das Gebietsintegral als Grenzprozess : Darstellung des Gebietsintegrals als eine Folge von Volumina immer kleiner werdender Quadern über dem Integrationsgebiet.
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player (.nbp)
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- Koordinatentransformation, Gebietsintegral und Jacobi-Determinante : Demonstration zur Koordinatentransformation (Variablenwechsel) in
Gebietsintegralen und Diskussion der Rolle der Jacobi-Determinante in
diesem Zusammenhang.
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player (.nbp)
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- Rotationskörper : Dieses Notebook rechnet Volumen, Oberflächeninhalt, Schwerpunkt und Trägheitsmoment bezüglich der Symmetrieachse eines Rotationskörper bei konstanter Dichte.
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.nb
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VI. Vektoranalysis
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- Demonstration : Parameterdarstellung von Kurven und Flächen im dreidimensionalen Raum mit Mathematica
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.nb
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- Benutzung von Differenzialoperatoren der Vektoranalysis in Mathematica.
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.nb
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VII. Differentialgleichungen
Schwingungsprobleme
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- Harmonische Schwingung : Interaktive Manipulation der Parameter Amplitude, Kreisfrequenz und
Phase einer harmonischen Schwingung zur Visualisierung derer Bedeutung.
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applet
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- Überlagerung von Schwingungen : Darstellung und interaktive Manipulation der Ueberlagerung zweier harmonischer Schwingungen.
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applet
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- Schaukel : Visualisierung einer kleinen periodischen Störung der Pendelgleichung mit verschiedenen Frequenzen.
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.nb
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- Schwingung & Resonsanz : Visualisierung eines Harmonischen Oszillators mit Dämpfung.
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.nb
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- Mittels einer Animation dargestellte D'Alembert-Lösung der eindimensionalen Wellengleichung.
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.nb
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VIII. Potenzreihen
Potenzreihen
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- Potenzreihen wichtiger Funktionen : Visualisierung verschiedener Potenzreihen, welche wichtige Funktionen
definieren. Es wird das jeweilige Konvergenzintervall angezeigt und das
n der Summenfolge kann manipuliert werden.
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applet
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- Visualisierung von Potenzreihen mittels Mathematica.
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.nb
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Taylorapproximation
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- Taylorpolynom : Interaktive Visualisierung der Taylorapproximation für eine
definierbare Funktion und einen frei wählbaren Entwicklungspunkt. Die
Schritte n lassen sich wieder einstellen.
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applet
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. Partielle Differentialgleichungen, Fourier-Reihen
Fourier-Reihen
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- Fourier-Entwicklung einfacher Funktionen : Die Visualisierung zeigt die Fourier-Entwicklung verschiedener
einfacher, periodisch fortgesetzter Funktionen. Durch Verändern der
Anzahl Summanden im Fourier-Polynom kann die Konvergenz und qualitativ
die Güte der Approximation visualisiert werden.
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player (.nbp)
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