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Technische Voraussetzungen

Java Applets
  • Firefox Browser ab Version 2 mit Java-Plugin (JRE 1.5 oder höher)
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  • JavaScript aktiviert
  • Für 3D-Visualisierungen zusätzlich: Java 3D installiert.
Notebooks für den Mathematica Player (.nbp)

Der kostenlose Mathematica Player ermöglicht Studierenden das interaktive Arbeiten mit .nbp Dateien. Er ist für Windows, Mac und Linux erhältlich.

  • Das Player-Installationsfile können Sie hier downloaden. (Die Angabe der persönlichen Daten ist optional!)
  • Danach führen Sie das Installationsfile auf dem Rechner aus. Auf Windows und Mac ist die Prozedur standardmässig. Für Linux-User gibt es hier eine Anleitung.
  • Bei Fragen oder Problemen wenden Sie sich bitte an uns.
Notebooks für Mathematica (.nb)

Für gewisse Notebooks (z.B. Anwendungsbeispiele von Mathematica oder wenn Sie den Sourcecode der Visualisierungen studieren möchten) benötigen Sie Mathematica selbst:

Die Wahl der Kategorien orientiert sich weitgehend an der Gliederung im Skript von Prof. Urs Stammbach. Bitte beachten Sie, dass diese Sammlung laufend aktualisiert und erweitert wird.

Die Sammlung enthält zurzeit drei Typen von Materialien:

Die technischen Anforderungen zur Betrachtung dieser Materialien finden Sie in der Box rechts. Im Fall von Java-Applets führt ein untenstehender Link jeweils auf eine Vorschauseite, welche zusätzlich zum "Copy/Pasten" den Einfügecode enthält. Zu den Mathematica Player Notebooks bieten wir neben den mit dem Player lauffähigen .nbp Files auch die Sourcefiles (.nb) an.

I. Funktionen

Folgen, Konvergenz
       
  • Folgenplotter für die reelle Gerade, welcher einen wählbaren Bereich einer Folge anzeigt.
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  • Reihenplotter, welcher einen einstellbaren Ausschnitt einer definierbaren Reihe grafisch darstellt.
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Funktionsbegriff
     
  • Funktion als Transformation : Eine etwas andere Darstellung von Funktionen, welche sich am Begriff der Transformation anlehnt.
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  • Verknüpfung zweier Funktionen : Stellt untereinander zwei Funktionen und ihre Verknüpfung grafisch dar.
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  • Punktweise Operationen und Verknüpfung : Stellt getrennt zwei definierbare Operanden-Funktionen und das Ergebnis der Operation dar. Wählbare Operationen sind: Punktweise Addition, Subtraktion, Produkt, Division und Verknüpfung von Funktionen.
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  • Nullstellen von Funktionen : Findet die Nullstellen einer vom Benutzer definierbaren Funktion und stellt diese grafisch im Plot dar.
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  • Absolutwert einer Funktion : Stellt die Funktion der Absolutwerte einer Funktion und wahlweise die Ausgangsfunktion grafisch dar.
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  • Folgen von Funktionen : Stellt schrittweise die Folgenglieder einer Funktionenfolge dar.
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  • Fixpunkt einer Funktion : Stellt schrittweise eine Fixpunkt-Iteration mit einstellbarem Anfangswert für eine Funktion mit Fixpunkt dar.
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  • Parametrisierung des Funktionsgraphen : Stellt die Koordinatenfunktionen und die Kurve selbst einer parametrisierten Kurve im R^2 grafisch dar. Einstellbar sind u.a. die Koordinatenfunktionen und der Definitionsbereich des Parameters.
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Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit
       
  • Delta-Epsilon Definition : Stellt die Anwendung des Epsilon-Delta-Kriteriums für eine definierbare stetige Funktion und einen frei wählbaren Punkt grafisch und numerisch dar. Es wird farblich angezeigt, ob das Kriterium bei den aktuellen Parametern gültig ist (grün) oder nicht (rot).
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  • Asymptoten : Dieses Notebook zeigt drei Beispielsfunktionen f(x) und ihre Asymptoten für x -> unendlich.
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Inverse Funktion
       
  • Funktion und ihre Inverse : Stellt für eine definierbare Funktion auf einem positiven Intervall die Inverse grafisch dar.
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Diverse Funktionsplotter
       
  • Funktion mit Definitionsbereich : Stellt eine Funktion grafisch dar, wobei der Definitionsbereich mit der Maus oder numerisch verändert werden kann.
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  • Funktion mit einem Parameter : Stellt eine Funktion mit einem Parameter grafisch dar, wobei der Parameter sukzessive verändert werden kann.
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  • Mehrere Funktionen : Darstellung mehrerer Funktionen im selben Plot.
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  • Hyperbolische Funktionen : Grafische Darstellung von wahlweise sinh, cosh, tanh, coth und ihren asymptotischen Funktionen. Ebenfalls wahlweise kann die jeweilige Umkehrfunktion (Areafunktion) mitangezeigt werden.
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II. Differentialrechnung von Funktionen einer Variablen

Begriff des Differentialquotienten
       
  • Funktion und deren Ableitung : Darstellung einer definierbaren Funktion und ihrer Ableitung in separaten Plots.
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  • Ableitung als Tangentensteigung : Anschauliche Darstellung der 1. und wahlweise auch der 2. Ableitung einer Funktion als Tangentensteigung.
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  • Vergleich der Tangentensteigung zweier Funktionen : Grafische Darstellung zweier definierbarer Funktionen in einem Plot und Ausgabe der Tangentensteigung beider Funktionen an einem interaktiv manipulierbaren Punkt.
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  • Übergang von Sekanten zu Tangente : Interaktive Manipulation von Tangente und Sekante in Punkten einer definierbaren Funktion.
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  • Mathematica - Berechnung der Ableitung einer Funktion mit dem Befehl DSolve und Plotten der Lösung.
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Mittelwertsatz der Differentialrechnung
       
  • Darstellung des Mittelwertsatzes : Interaktive Darstellung des Inhalts des MWS der Differentialrechnung. Sobald die Existenzaussage eintritt, wird die repräsentierende Tangente grün gefärbt.
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Exponential- und Logarithmusfunktion
       
  • Vergleich von Exponential- und Potenzfunktion : Grafische Darstellung der Exponentialfunktion und der Potenzfunktion x^n für Schritte in n zur Illustration des Wachstumsverhaltens.
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  • Logarithmusfunktion : Grafische Darstellung der Logarithmusfunktion zu beliebig definierbarer Basis b > 0. Zum Vergleich wird die Funktion log_e miteingeblendet und es können wahlweise die jeweiligen Umkehrfunktionen mitangezeigt werden.
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Zweite und höhere Ableitungen
       
  • Darstellung von Beispielfunktionen und ihren ersten und zweiten Ableitungen.
  player (.nbp)
 
Ebene Kurven
       
  • Parametrisierte Kurve in der Ebene : Plotter, welcher die Darstellung einer parametrisierten Kurve in R^2 erlaubt, wobei Koordinatenfunktionen und das Parameterintervall frei definierbar sind.
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  • Kurve mit separatem Plot der Komponenten : Darstellung einer analog definierbaren parametrisierten Kurve im R^2, wobei zusätzlich die beiden Parameterfunktionen in einem zweiten Plot dargestellt werden.
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  • Zykloide eines Radpunktes : Der Abstand des Punktes von der Rabnabe kann eingestellt werden, wobei auch der Effekt eines Punktes mit einem Abstand grösser als der Radradius demonstriert werden kann. Die Zykloide wird anschaulich während des Rollvorgangs gezeichnet.
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  • Zykloide als Mathematica-Animation.
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  • Dieses Notebook berechnet die Krümmung in jedem Punkt einer in Parameterdarstellung gegebenen ebenen Kurve. Die Kurve und ihre Evolute werden graphisch dargestellt. Der Krümmungskreis wird durch eine Animation gezeigt.
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  • Darstellung einer Klotoide : Wenn man mit konstanter Geschwindigkeit faehrt und das Lenkrad mit konstanter Geschwindigkeit dreht, fährt man auf einer Klotoidenbahn. Auf einer Klotoide ist die Kruemmung eine lineare Funktion der Bogenlaenge.
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  • Visualisierung und Animation der logarithmischen Spirale.
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Euler-Methode
       
  • In diesem Notebook wird die Euler-Methode zur Loesung des Anfangswertproblems einer Differenzialgleichung erster Ordnung angewendet.
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III. Integralrechnung von Funktionen einer Variablen

Das bestimmte Integral
       
  • Integrator : Grafische Darstellung und numerische Berechnung des bestimmten Integrals für eine definierbare Funktion und einstellbare Integrationsgrenzen.
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  • Unter- und Obersumme : Wahlweise Darstellung und numerische Berechnung der Unter- bzw. Obersumme einer definierbaren Funktion. Die Anzahl n der Treppen kann frei eingestellt werden.
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  • Approximation durch Treppenfunktion : Grafische Darstellung und numerische Berechung der Mittelwert-Approximation des bestimmten Integrals einer frei definierbaren Funktion. Die Schritte n sind wieder einstellbar.
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  • Approximation durch Trapeze : Wie oben jedoch mit Trapezen. Einblendung der approximierenden Summe und des Integrals in jedem (einstellbaren) Schritt.
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IV. Funktionen von mehreren Variablen, Differentialrechnung

       
  • Niveaulinien verschiedener Funktionen : Simultane Anzeige von Funktion und Niveaulinien als Oberflächen- und Konturplot.
  player (.nbp)
 
  • Partielle Ableitungen als Tangentensteigungen und Grenzwerte von Sekantensteigungen : Einfache Visualisierung; Sekantenpunkte können verändert werden.
  player (.nbp)
 
  • Satz von Schwarz (Satz von Clairaut) : Manipulierbare Darstellung der Aussage des Satzes von Schwarz anhand mehrerer Beispielsfunktionen.
  player (.nbp)
 
  • Gegenbeispiel zum Satz von Schwarz (Clairaut) und Caveat : Zwei manipulierbare Beispiele von Funktionen, welche den Satz von Schwarz nicht erfüllen. Demonstration, dass visueller Eindruck und die Ausgabe eines Computer Algebra Systems hinterfragt werden müssen.
  player (.nbp)
 
  • Graphische Darstellung von Funktionen von zwei Variablen und Berechnung partieller Ableitungen.
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V. Funktionen von mehreren Variablen, Integralrechnung

       
  • Das Gebietsintegral als Grenzprozess : Darstellung des Gebietsintegrals als eine Folge von Volumina immer kleiner werdender Quadern über dem Integrationsgebiet.
  player (.nbp)
 
  • Koordinatentransformation, Gebietsintegral und Jacobi-Determinante : Demonstration zur Koordinatentransformation (Variablenwechsel) in Gebietsintegralen und Diskussion der Rolle der Jacobi-Determinante in diesem Zusammenhang.
  player (.nbp)
 
  • Rotationskörper : Dieses Notebook rechnet Volumen, Oberflächeninhalt, Schwerpunkt und Trägheitsmoment bezüglich der Symmetrieachse eines Rotationskörper bei konstanter Dichte.
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VI. Vektoranalysis

       
  • Demonstration : Parameterdarstellung von Kurven und Flächen im dreidimensionalen Raum mit Mathematica
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  • Benutzung von Differenzialoperatoren der Vektoranalysis in Mathematica.
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VII. Differentialgleichungen

Schwingungsprobleme
       
  • Harmonische Schwingung : Interaktive Manipulation der Parameter Amplitude, Kreisfrequenz und Phase einer harmonischen Schwingung zur Visualisierung derer Bedeutung.
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  • Überlagerung von Schwingungen : Darstellung und interaktive Manipulation der Ueberlagerung zweier harmonischer Schwingungen.
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  • Schaukel : Visualisierung einer kleinen periodischen Störung der Pendelgleichung mit verschiedenen Frequenzen.
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  • Schwingung & Resonsanz : Visualisierung eines Harmonischen Oszillators mit Dämpfung.
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  • Mittels einer Animation dargestellte D'Alembert-Lösung der eindimensionalen Wellengleichung.
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VIII. Potenzreihen

Potenzreihen
       
  • Potenzreihen wichtiger Funktionen : Visualisierung verschiedener Potenzreihen, welche wichtige Funktionen definieren. Es wird das jeweilige Konvergenzintervall angezeigt und das n der Summenfolge kann manipuliert werden.
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  • Visualisierung von Potenzreihen mittels Mathematica.
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Taylorapproximation
       
  • Taylorpolynom : Interaktive Visualisierung der Taylorapproximation für eine definierbare Funktion und einen frei wählbaren Entwicklungspunkt. Die Schritte n lassen sich wieder einstellen.
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. Partielle Differentialgleichungen, Fourier-Reihen

Fourier-Reihen
       
  • Fourier-Entwicklung einfacher Funktionen : Die Visualisierung zeigt die Fourier-Entwicklung verschiedener einfacher, periodisch fortgesetzter Funktionen. Durch Verändern der Anzahl Summanden im Fourier-Polynom kann die Konvergenz und qualitativ die Güte der Approximation visualisiert werden.
  player (.nbp)
 
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© 2009 ETH Zürich | 23.7.2009