Cluster-Algebren wurden im Jahr 2001 von Fomin und Zelevinsky eingeführt und haben seither weit über die ursprüngliche Motivation hinaus Türen in verschiedene Gebiete der Algebra, der Geometrie und der Kombinatorik geöffnet.

Cluster-Algebren vom Rang n sind gewisse kommutative Algebren, erzeugt von sogenannten Clustervariablen. Spezielle n-elementige Teilmengen der Menge aller Clustervariablen sind als Cluster ausgezeichnet. Zu jedem Cluster x = {x₁,...,x_n} gibt es genau n benachbarte Cluster, welche aus x durch Austauschen einer der Clustervariablen entstehen. Zwei beliebige Cluster lassen sich durch solch sukzessives Mutieren ineinander überführen. Die Zahl der Clustervariablen kann endlich oder unendlich sein, und im endlichen Fall haben Fomin und Zelevinsky einen Klassifikationssatz bewiesen. Die Klassifikation stimmt überein mit der berühmten Killing-Cartan Klassifikation (Dynkin-Diagramme von endlichem Typ oder endliche kristallographische Wurzelsysteme).

Ein Beipiel für die eben beschriebene kombinatorische Struktur ist im Bildchen dargestellt. Hier haben wir es mit 9 Clustervariablen zu tun, symbolisiert durch die 9 Möglichkeiten, eine Diagonale in einem Sechseck zu wählen. Eine 3-elementige Teilmenge bildet genau dann einen Cluster, wenn die drei gewählten Diagonalen einander nicht schneiden. Im Bildchen entspricht also jedes der 14 Dreiecke einem Cluster. Soviel zur Kombinatorik. Eine zugehörige Cluster-Algebra lässt sich übrigens als homogener Koordinatenring einer Grassmannmannigfaltigkeit Grass(2,6) realisieren.

Mögliche Themen: Cluster-Algebren - Beispiele - Klassifikation - Laurent-Phänomen - Kombinatorik - Cluster-Kategorien - Pfadalgebra eines Köchers (quiver) - ...

Voraussetzungen: Lineare Algebra, Algebra

Zeit und Ort: Mo 15-17 im HG G 19.1

Beginn: 19. März 2007