Inhalt: Coxetergruppen, Wurzelsysteme für beliebige Coxetergruppen, standard geometrische Darstellung, starke Austauschbedingung, Klassifikation der endlichen irreduziblen Coxetergruppen, Bruhatordnung, Invariantentheorie endlicher komplexer Spiegelungsgruppen, Coxetertransformationen

Spiegelungsgruppen kommen in vielen Gebieten der Mathematik vor. In diesem Kurs sollen zuerst die wichtigsten Grundlagen erarbeitet werden, um anschliessend in einige weiter führende Themen eintauchen zu können. Spezielle Aufmerksamkeit soll den reellen Spiegelungsgruppen (Coxetergruppen) zukommen. Unter den endlichen Coxetergruppen figurieren etwa die endlichen Diedergruppen (also die Symmetriegruppen der regelmässigen n-Ecke) und die endlichen symmetrischen Gruppen (also die Gruppen aller Permutationen der Mengen {1,...,n}).

Mögliche Themen: Coxetergruppen - Wurzelsysteme - Bruhatordnung - endliche Coxetergruppen - affine Weylgruppen - Darstellungstheorie - Kazhdan-Lusztig-Polynome - Invarianten - Poincaré-Reihen - komplexe Spiegelungsgruppen

Die Studierenden sollen mit den Grundlagen vertraut werden, um einerseits die Theorie in Anwendungen nutzen und andrerseits an der aktuellen Forschung teilhaben zu können.

kein Skript

J. E. Humphreys: Reflection groups and Coxeter groups. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 29, Cambridge University Press, 1990. [Gilt nebst dem klassischen Werk von Bourbaki als Standardreferenz.]

N. Bourbaki: Groupes et algèbres de Lie. Chapitres 4, 5 et 6. Hermann, 1968; Masson, 1981. Lie groups and Lie algebras. Chapters 4-6. Translated from the 1968 French original by A. Pressley, Springer, 2002. [Gilt als Standardreferenz. Es fehlen natürlich die neueren Entwicklungen.]

A. Björner, F. Brenti: Combinatorics of Coxeter groups. Graduate Texts in Mathematics 231, Springer, 2005. [Ein neues Buch, das besonderen Wert auf kombinatorische Aspekte legt.]

Weitere Literatur wird während des Kurses bekannt gegeben.

Voraussetzungen: Lineare Algebra, Algebra

Reflection Groups

Contents: Coxeter groups, root systems for arbitrary Coxeter groups, standard geometric representation, strong exchange condition, classification of finite irreducible Coxeter groups, Bruhat ordering, invariant theory of finite complex reflection groups, Coxeter transformations