Aufgaben und Links zum Vortrag: «Quadratsummen – ein Tor zur Zahlentheorie» – ETH unterwegs

Diese Aufgaben sind Teil eines Vortrags im Rahmen von ETH unterwegs. Hier ist eine schöne Beschreibung aus Vaduz!

Aufgaben

1. Stellt euch einen endlosen Korridor vor, der bei Zimmer Nummer 1 beginnt und sich über Zimmer Nummer 2, 3, 4, und so weiter fortsetzt (nein, dieses Rätsel hat überhaupt nichts mit Hilberts Hotel zu tun – aber wenn du noch nie von diesem Hotel gehört hast, hör sofort auf zu lesen und schau dir dieses tolle Video an :).

   In diesem Puzzle gibt es Zwerge. Zunächst sind alle Türen geschlossen.
   Dann geht Zwerg Nummer 1 den ganzen Korridor entlang und öffnet alle Türen.
   Ihm folgt Zwerg Nummer 2 und schliesst alle geraden Türen.
   Zwerg Nummer 3 geht zu allen Vielfachen von 3: Wenn die Tür offen war, schliesst er sie; wenn sie geschlossen war, öffnet er sie.
   Zwerg Nummer 4 verhält sich genauso wie Zwerg Nummer 3, aber bei allen Vielfachen von 4.
   Und so weiter: Zwerg Nummer 5 macht dasselbe bei allen Vielfachen von 5, Zwerg 6, …

   Frage: Welche Türen bleiben offen, nachdem alle Zwerge mit der Arbeit fertig sind (und in ihrem Zimmer bei $\infty$ schlafen gegangen sind …)?

2. Zeige: Falls $4n$ eine Summe von drei Quadraten ist, so ist auch $n$ eine Summe von drei Quadraten.

   Hinweis: Falls $4n=x^2+y^2+z^2$ für $x,y,z\in \mathbb N$, dann gilt [ n=\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{y}{2}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{z}{2}\Bigr)^2. ] Aber wieso sollten $x,y$ und $z$ durch 2 teilbar sein?

3. Zeige mithilfe der obigen Aufgabe, dass eine Zahl der Form $4^k(8l+7)$ für $k,l\in \mathbb N$ keine Summe von drei Quadraten ist.

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Oben genannte Links:
[1] Hilbert-Hotel-Video
[2] Unser Buch