Prof. Dr. Francesca Da Lio

Komplexe Analyse, FS 2023

Studiengang Elektrotechnik und Informationstechnologie und Rechnergestützte Wissenschaften

Dozentin: Prof. Francesca Da Lio

Übungskoordinatorin: Jelena Anic

Diary of the lectures

# Date Themen Literatur Bemerkungen
1 22.02.2023 Grundbegriffe von komplexen Zahlen. Skitpt: Abschnitt 1.1 (bis Seite 6) Slides of presentation of the course
2 23.02.2023 Normalform und Polardarstellung komplexer Zahlen. Hauptwert des Arguments. Folgen und Reihen komplexer Zahlen. Definition von offene Teimengen von C Skript: Abschnitt 1.2 (bis Seite 11) Beziehung zwischen dem arctan und dem Hauptwert des Arguments, Einige Begriffe aus Topologie, Wiederholung Hauptargument
3 01.03.2023 Folgen and Reihen komeplexer Zahlen. Konvergenzradius einer Potenzreihe. Bespiele. Euler-Formel. Skript: Abschnitte 1.2 & 1.3
4 02.03.2023 Logarithmen und Wurzeln. Definition von z^w. Skript: Abschnitt 1.5
5 8.03.2023 Der Fundamentalsatz der Algebra . Komplexewertige Funktionen. Grenzwerte und Stetigkeit (Definitionen) Skript: Abschnitt 1.6 & Kapitel 2 bis Seite 21
6 9.03.2023 Grenzwerte und Stetigkeit (Beispiele). Partielle Ableitungen, R-Differenzierbarkeit, komplexe Ableitung. Skript: Abschnitt 2.1 bis Seite 25
7 15.03.2023 C-Differenzierbarkeit impliziert die Stetigkeit. Rechenregeln. Holomorphe Funktionen. Cauchy-Riemann Gleichungen. Skript: Abschnitt 2.1 bis Seite 28 Zusammenfassung C-Differenzierbarkeit
8 16.03.2023 Beispiel 2.24. Korollar 2.27 und Korollar 2.28. Kurven. Skript: Abschnitt 2.1 & 2.3 bis Seite 34
9 22.03.2023 Definition von Kurvenitegral. Eigenschaften. Einige Beispiele. Skript: Abschnitt 2.3 bis Seite 38
10 23.03.2023 Definition von einer offenen wegzusammenhängenden Menge. Definition von Homotopie mit festen Anfangs und Endpunkten. Definition von einer offenen einfach zusammenhängenden Teilmenge con C. Äquivalente Bedingungen für die Existenz einer Stammfunktion. Integralsatz von Cauchy. Abschnitt 2.3 & 2.4 bis Seite 43 Zusammenfassung Integralsatz von Cauchy
11 29.03.2023 Sats 2.47 (Cauchy Integralsatz), Korollar 2.48. Unahängigkeit vom Pfad des Kurvenitegral der holomorphe Funktionen in wegzusammenhängenden Mengen (Eigenschaft (KI7)). Beispiele Abschnitt 2.4 bis Seite 49 und Notizen
12 30.03.2023 Beweis Eigenschaft (KI7). Beweis Satz 2.47 (Cauchy Integralsatz) und Satz 2.55. Aussage vom Mittelwertsatz. Beispiele Abschnitt 2.4 & 2.5 bis Seite 59
13 6.04.2023 Kurze Wiederholung von den Integralsätze von Cauchy. Mittelwertsatz, Maximum Modulus Prinzip, Liouville Satz. Abschnitt 2.5 & 2.6 bis Seite 61 Zusammenfassung Integralformel
14 19.04.2023 Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra, Taylor-Reihen Entwiklung. Beispilele Abschnitt 2.5.1 & 3.1 bis Seite 69 Inverse Trigonometrische Funktionen
15 20.04.2023 Beweis Satz 3.1. Satz 3.6. Definition von isolierten Singularitäten. Beispiele von Taylor und Laurent-Reihen Entwicklungen Abschnitt 3.1 bis Seite 72
16 26.04.2023 (Zoom-Unterricht) Wiederholung Definition von isolierten Singularitäten. Beispiel 3.16. Definition von Residuum. Beispeiele 3.21, 3.22.3.23. Residuensatz. Abschnitte 3.1 und 3.2 bis Seite 77
17 27.04.2023 (Zoom-Unterricht) Bespiel 3.25. Windungszahl. Generalisierung des Residuensatzes.Alternative Charakterisierung von isolierten Singularitäten durch qualitative Eigenschaften in der Umgebung der Singularität. Hebbarsatz von Riemann. Lemma 3.29. Korollar 3.30. Beispiel 3.34. Beispiele 3.35 und 3.36 Abschnitte 3.2 bis Seite 81 im Bezuf auf den Hebbarsatz von Riemann sehen z.B Ergänzendes Skript von Komplexe Analysis (Satz 4.9), Zusammenfassung isolierte Singularitäten
18 3.05.2023 Wesentliche Singularität. Satz von Picard. Nullstelle der Ordnung m. Anschnitt 3.4 bis Seite 85
19 4.05.2023 Beweis Lemma 3.38. Einige Übungen über Residuensatz. Anwendungen des Residensatz auf reelle Integrale. Integrale von rationalen Funktionen von cos(t) und sin(t). Abschnitt 3.4 bis Seite 89
20 10.05.2023 Uneigentliche Integrale. Abschnitt 3.4.2
21 11.05.2023 Uneigentliche Integrale mit sinus und cosinus. Fourier Reihen. Definition. Orthonormalitätsbeziehungen. Bestimmung der Koeffizienten. Abschnitt 3.4.3 und 4.1 bis Seite 109.
22 17.05.2023 Beispiel 4.22: Fourier-Reihe des Rechtechsignal. Satz von Dirichlet für Fourier-Reihen. Bestimmung der Summe \Sigma_{1}^{\infty} (-1)^n\frac{1}{(2n+1)} Abschnitte 4.1 bis Seite 111
23 19.05.2023 Gerade und Ungerade Entiwiklungen. Gibbs Phänomen. Approximation durch ein trigonometrisches Polynom. Parseval Gleichung. Abschnitt 4.1.2 , 4.1.2,4.1.3, 4.1.5, 4.1.6 Zusamenfassung Fourier-Riehen
24 24.05.2023 Heuristische Herleitung von Fourier-Transformation. Definition von FT und inversen FT. Satz von Dirichlet. Beispiel 4.33. Berechnung vom uneigentlichen Integral von \sin(x)/x. Abschnitt 4.2. Sehen auch die Klassnotizen Zusammenfassung Fourier Transformation
25 25.05.2023 Beispiel 4.34. Beispiel 4.3. Eigenschaften der Fourier-Transformation. Beispiel 4.36 (zweite Methode) Abschnitt 4.2. bis Seite 144. Im Bezug auf Beispiel 4.36, sehen auch Aufgabe 3 in Serie 12
26 31.05.2022 Definition von der Laplace-Trasformation. Originalfunktionen. Wachstumkoeffizient. Bespiele von Originalfunktionen. Berechnungen einiger Laplace-Trasformationen Abschnitt 5.1.
27 1.06.2023 Rechenregeln. Inverse Laplace Transformation. Gewöhnliche Dirrefentialgleichungen. Abschnitt 5.2. bis Seite 162 und Abschnitt 5.4 bis Seite 175. (sehen auch Klassnotizen) Zusammenfassung Laplace Transformation
**** ######## Viel Erfolg! #############

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